【成才之路】2014-2015学年高中数学 第4章 §2 2.1实际问题中导数的意义同步测试 北师大版选修1-1.doc

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第4章 §2 2.1实际问题中导数的意义同步测试 北师大版选修1-1 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)，x∈R，则f′(x0)表示(　　) A．自变量x＝x0时对应的函数值 B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率 C．函数值y在x＝x0时的平均变化率 D．无意义 [答案]　B [解析]　根据导数的几何意义知选B. 2．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示(　　) A．t＝1s时的速度　　 B．t＝1s时的加速度 C．t＝1s时的位移 D．t＝1s时的平均速度 [答案]　B [解析]　v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度． 3．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是(　　) A．14　　　 B．4 C．10 D.6 [答案]　A [解析]　速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t. 所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14. 4．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如图所示，那水瓶的形状是(　　) [答案]　B [解析]　在曲线上任取一个横坐标为h0的点，则注水量V在h0到h0＋Δh的平均变化率为，在h0处的导数为V′＝ .由图像可知，随着h0的增大，曲线的切线的倾斜角越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在Δh不变的前提下，平均变化率＝ΔS，因此，水瓶中水面的面积会越来越小，故选B. 5．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　) A．－1a2 B．a－1 C．a2 D．a－1或a2 [答案]　D [解析]　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，函数有极大值和极小值，则f′(x)＝0有两个不等实根，故Δ＝36a2－36×(a＋2)0，即a2－a－20.所以a－1或a2. 6．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是(　　) [答案]　D [解析]　由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快． 选项A表示面积的增速是常数，与实际不符； 选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符； 选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符； 选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际． [点评]　函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些． 二、填空题 7．人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________． [答案]　服药2分钟后血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加． 8．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________. [答案]　 [解析]　s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，设6t＋1＝10， 则t＝. 9．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.则熄火后________秒后火箭速度为零(g取10m/s2)． [答案]　10 [解析]　由已知，得火箭的运动方程为h(t)＝100t－gt2，∴h′(t)＝100－gt. 令h′(t)＝0，即100－gt＝0，∴t＝＝10(s)． 即火箭熄火后10s速度变为零． 三、解答题 10．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义． [答案]　f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5 [解析]　在第2h和6h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． ∵f ′(x)＝2x－7. ∴f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5. 在第2h与第6h，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速度下降；在第6h附近，原油温度大约为5℃/h的速度上升. 一、解答题 11．自由落体运动的方程为s＝gt2. (1)求t从3s变到3.1s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s′(3)． [答案]　(1)3.05g m/s　(2)3g m/s [解析]　(1)Δs＝s(3.1)－s(3) ＝g×3.12－g×32＝0.305g