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第五章 表象 §2 本征值为分立的力学量表象 * §1 坐标表象与动量表象 §2 本征值为分立的力学量表象 §3 表象变换 §4 Dirac 符号 §1 坐标表象与动量表象 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 坐标表象的波函数 给出t时刻到粒子处于 之间的几率 满足Schrodinger 对 不显含时间t，则 可以分离变量x与t 设上述定态方程的解为 并设 是正交归一的，即 则含时Schrodinger方程的一般解为 Cn为迭加常数，由初始条件决定。 若 则 动量表象 动量算符 其相应的本征态为P,本征函数为 构成正交完备集，体系的波函数 可以用 展开，即 两边同乘 给出t时刻粒子的动量在 之间的几率，或 是粒子的动量的几率密度。 满足的方程 两边同乘 “P”表象中的运动方程 特例：当V不显含时间t时 例1 在P表象中计算一维谐振子的定态能量和波函数 解 定态方程 1. 力学量F表象的波函数： 设力学量 取本征值 ,相应的本征函数为 ，即 若 满足正交归一性，则 构成完备系。 “x”表象波函数 可表示为： 同样，由 归一，得到 ， 表示t时刻粒子力学量 取值为 的几率， 作为变量 的函数，即 表象中的波函数。 考虑到波函数可以看成函数空间中的矢量，可以用矩阵表示方法来表示F表象中的波函数 波函数归一化： 是 的厄米共轭矩阵 2. 任一算符 在F表象中的表示： 算符 在F表象中为一方阵 3.算符 在自身表象中 基： 其本征函数在自身表象中 即对角的 4. 波函数的内积： “x”中内积： “F” 5. “F”中的Schrodinger方程 同样，对定态Schrodinger方程，V不显含t，则 该方程有非零解 6. 平均值： 说明：对三维运动，要选择三个相互对易的力学量完全集，如 的共同本征函数完备集作为 表象的基。如设 的本征值都是分离的，分别为 其量子数分别为 ，它们的共同本征函数记为 ，则可选定一排序方法，并依次记为1，2，…， 如记 ，则 得到 表象中相应的表示。 求：李子的定态能量和波函数。已知t=0的波函数为 求任意t时刻的波函数 例： 设Q表象的基为 ，某粒子的Hamiltonian H在Q表象中的矩阵为 解： 本征函数 一般解 §3 表象变换 本节讨论本征值为分立的力学量表象之间的波函数变换与算符变换，为方便计，我们考虑一维的情况，但这并不失一般性。 设表象“A”中 其基为 算符 则在“B”中，波函数和算符L如何表示？ 现有另一表象“B”，基为 显然，任意波函数 记 则 或 S矩阵的性质：S是幺正的 力学量在“A”，“B”中的关系 在A中 在B中 又有 §4 Dirac 符号 1. 右矢 ： Dirac引进右矢表示一般抽象的态矢，为清楚起见，则于其内标t的某种记号，如表示波函数 的态可记为 而对于本征值，常用本征值或相应的量子数标在右矢内。 如坐标 的本征值为 ，本征函数则记为 动量 的本征值为 ，本征函数则记为 能量 的本征值为 ，本征函数则记为 一般的，力学量 ，其本征值为 ，其相应的态矢记为 则上述相应的本征方程为： 2. 左矢及内积 ： 左矢 如：动量本征函数的正交归一： 3. 完备性 ： * * *