用狄拉克符号阐表象理论及表象变换.doc

用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由狄拉克首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为狄拉克符号。狄拉克符号能够简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。本文用狄拉克符号全面阐述量子力学的表象理论，以及量子态、内积、算符、薛定谔方程等的变换，使读者对表象理论及表象变换有一个全面的认识。 一、Dirac符号 量子力学的理论描述常采用Dirac符号。两个优点不依赖于具体表象运算简捷由量子体系的一切可能状态构成Hilbert空间在这个空间中，态用右矢表示，一般写为，定义在复数域上。也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如分别表示坐标、动量和动能算符的本征态而表示角动量算符的共同本征态。 左矢矢如等则是上述右矢的共轭态矢。内积定义两个态矢和标积的形式为又称内积。且满足下列关系 若满足，则称与正交若满足，则称与是归一的。若力学量完全集F的本征态（分立）记为，则其正交归一性可写为 对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为而动量算符的本征态的正交归一性可写为态矢的表示 （1）分立谱的情况 若力学量完全集F的本征态记为，则在F表象中，任意态矢量可以写为 用同上式两边作内积，有 所以有 它是在上的投影。用列矢表示为 所以 可以看作一个算符，因为它作用在态矢量上后求和，得出的是态矢量。我们称这个算符为投影算符，用表示，即 而显然， 我们称算符为单位算符，这是基矢完备性的表现（2）连续谱的情况 在这种情况下，上述的求和要用积分代替。比如： 在F表象中，两个态矢和之间的内积可按如下方法计算： 其中 四、算符的表示 设算符的作用用Dirac符号表示为 在F表象中，的矩阵元是 用与上面的作用方程作内积，有 利用前面所得关系 由则有上式写成矩阵的形式，有 其中就是算符在F表象中的矩阵表示。的本征方程为在F表象中左端可以表成 可以写成 从而有 ） 此方程组有非解的必要条件为 、 用Dirac符号，方程可写为 在F表象下可表示为 即 在态下的平均值用Dirac符号表示为 、表象变换 (1)态的表象变换 态在F表象中用表示在表象中用表示则 即 其中表示两个基矢之间的关系。 写成矩阵的形式，有 上式可以简写成 其中为么正矩阵，即满足 在F表象中 ，同理可证。(2)算符的表象变换 算符在F表象中的矩阵元为在表象中的矩阵元而 写成矩阵的形式是 、分别为在表象和表象中的矩阵。 Million. Water quality standards the dredging of river boundary section obtained provincial environmental protection Office special bonuses for wetland construction ... ... Million. But sober see, these achievements were made in the case of decreased rainfall for two consecutive years, we realize that environmental protection work still faced many problems in our County. Mainly in the PM2.5 and PM10 air quality monitoring indicators often exceeding, dredging of river sections water quality is not stable, and rural non-point source pollution has not been radical, Wade through the corporate environmental risk, livestock pollution rebound from severe, a wealth of protection and use of water resources is not well. If this years rainfall, these problems w