连续谱坐标与动量表象.PDF

3.7. 连续谱 ，坐标与动量表象 55 3.7 连连连续续续谱谱谱 ，，，坐坐坐标标标与与与动动动量量量表表表象象象 前面 的量子力学形式理论 以离散谱形式给 出, 即假设本征值是离散 的 。实际上 力学量 的本征值也可 以是连续 的实数 ，称为连续谱 。这里我们结合坐标表象和 动量表象给出连续谱下的量子力学形式 。 考虑位置算符xˆ. 其本征方程为 � � � xˆ|x � = x |x � (3.125) � � x 是本征值 ，为连续实数 。|x �是属于这个本征值的本征矢 。 连续谱本征矢满足的正交归一性为 � �� � �� �x |x � = δ (x − x ) (3.126) 这里dirac函数取代了delta 函数 。完备性关系为 � � � � |x ��x |dx = 1 (3.127) � 自然 ，以|x �为基矢的表象是坐标 （或位置）表象 。 任意态矢|α�都可 以展开成基矢的叠加(当然 ，在我们关心粒子的空间运动 的 时候） |α� = � dx� � � � � � � |x ��x |α� = dx ψ (x )|x � (3.128) � � � ψ (x ) ≡ �x |α�就是我们熟悉的波函数 。本质上 ，它是列矢的元素 ，但 由于x 连 续 ，我们并不这 么写 。 我们要求|α�可归一 ，即�α|α� = 1, 则 � � � � � � ∗ � � dx �α|x ��x |α� = dx ψ (x )ψ (x ) = 1 (3.129) 就是我们熟悉的波函数的归一化 。 � � � � � 2 � 根据测量原理 ，测量位置得到x ∈ [x , x + dx ] 的几率是 |ψ (x )| dx . 正是我 们最早给出的波函数的几率解释 。 动量的情况类似 。记其算符为pˆ. 其本征方程为 � � � pˆ|p � = p |p � (3.130) � � p 是本征值 ，为连续实数 。|p �是属于这个本征值的本征矢 。正交归一性 �p� |