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动量表象的薛定谔方程

在量子力学中，薛定谔方程是描述量子系统状态随时间演化的基本方程。通常，我们在坐标表象（即位置表象）中讨论薛定谔方程，但也可以在其他表象（如动量表象）中表达它。

在动量表象中，波函数ψ(p,t)是动量的函数，并且时间演化由以下方程给出：

i??t?ψ(p,t)?=H^(p)ψ(p,t)

这里，H^(p)是哈密顿量在动量表象中的表示。为了具体写出这个方程，我们需要知道哈密顿量的形式。

对于自由粒子（即不受外力作用的粒子），哈密顿量在动量表象中非常简单，因为它只包含动能项：

H^(p)=2mp2?

p是动量算符（在这里它实际上就是一个数，因为我们在动量表象中），m是粒子的质量。

将这个哈密顿量代入动量表象的薛定谔方程，我们得到：

i??t?ψ(p,t)?=2mp2?ψ(p,t)

这是一个关于ψ(p,t)的一阶偏微分方程，可以通过分离变量法求解。假设解的形式为ψ(p,t)=ψ(p)T(t)，代入方程并化简，我们得到：

i?T(t)T′(t)?=2mp2?

由于方程的左边只与时间有关，右边只与动量有关，因此两边必须等于一个常数。这个常数通常选择为能量E（因为对于自由粒子，能量是守恒的），于是我们有：

i?T(t)T′(t)?=E和2mp2?=E

解这两个方程，我们得到：

T(t)=e?iEt/?和p=±2mE?

注意，由于动量可以是正或负（表示粒子可以向任何方向移动），因此有两个解对应于同一个能量值。

将T(t)代入原假设的解的形式，我们得到动量表象中自由粒子的波函数为：

ψ(p,t)=ψ(p)e?iEt/?

ψ(p)是动量的初始分布函数，它决定了粒子在初始时刻的动量分布。

这里的讨论是针对自由粒子的。对于受外力作用的粒子，哈密顿量将包含势能项，并且动量表象中的薛定谔方程将变得更加复杂。此外，虽然我们在动量表象中讨论了薛定谔方程，但量子力学中的许多概念（如观测量的期望值、不确定性原理等）在任意表象中都是适用的。