量子6薛定谔方程.ppt

经典 量子 * §2-1 薛定谔方程 薛定谔提出波函数所满足的微分方程，用来处理低速实物粒子的运动问题。以薛定谔方程为基础建立起来的理论体系，称为量子力学。 一、薛定谔方程的引入 ●一维运动自由粒子含时的薛定谔方程： 非相对论动能和动量的关系 即是一维运动自由粒子含时的薛定谔方程 ●势场中一维运动非自由粒子含时的薛定谔方程： 势场中粒子的能量 即为势场中一维运动非自由粒子含时的薛定谔方程 ●粒子三维空间运动的一般薛定谔方程： 将势场中一维运动非自由粒子含时的薛定谔方程推广到三维情况。 其中，梯度符号? 拉普拉斯算符 令： 哈密顿算符 一般的薛定谔方程： 量子力学处理微观粒子运动问题的一般方法： 只要知道粒子的质量和它在势场中的势能函数的具体形式，就可写出其薛定谔方程，再根据初值条件和边值条件求解，得到描述粒子运动的波函数，其绝对值的平方就给出粒子在不同时刻不同位置处出现的概率密度。 二、定态 不含时间的薛定谔方程 所谓定态，即原子系统处于一系列不连续的能量状态，此状态下，电子能量状态稳定，不辐射能量，此原子系统处于定态。 稳定原子内部的电子 一维自由粒子的运动 都是定态，粒子在空间分布一定，各种平均值一定。 显然，E具有能量的量纲 波函数可以写成 定态：能量不随时间变 化的状态。 定态薛定谔方程 解得波函数为 概率密度： 与时间无关，这样的态称为定态。 定态波函数描述的粒子具有的性质： 1、粒子在空间各处的概率密度不随时间变化。即分布一定。 2、一切力学量（不含时间t）的平均值不变。 一般，只有当薛定谔方程中总能量E具有某些特定值时才有解。这些E值叫做能量的本征值。相应的波函数称为本征解或本征函数。 显然，稳定原子内部的电子、一维自由粒子都是定态。 §2-2势阱中的粒子 一维定态 一维无限深势阱问题 ——理想模型 V(x) x o a 设粒子质量为m。 势函数： 定态薛定谔方程： ～ （1） x 0 , x a 时 ～ ～ ～ 通解： 令： 一维定态 当 x ≥ a 时，V ? ? 当 ? ? ? 时，要求 A = 0 当 x ≤0 时，V ? ? 当 ? ? ? 时，要求 B = 0 结论： x 0 ，x a的区域粒子出现的概率为零。 边值条件： （2） ～ 0 x a 时 , V = 0 ～ ～ 通解： 由波函数连续性要求： ～ ～ ～ 归一化条件： En称为本问题中能量E的本征值。n相当于玻尔理论中的量子数。 ～ V(x) x o a E1 E3 E2 E4 本征函数： 本征值： V(x) x o a E1 E3 E2 E4 V(x) x o a E1 E3 E2 E4 一维势阱中粒子运动的特征： 1、粒子能量是量子化的。称n为粒子能量的量子数。 2、粒子的最小能量不等于零。 经典认为粒子的能量可以为零。 3、粒子在势阱中出现的概率不均匀。 经典认为匀速运动粒子应该在各处均匀出现。 4、薛定谔方程的解为驻波形式，即粒子的物质波在势阱中形成驻波。阱壁处为波节，粒子概率为零。 §2-3　势垒和隧道效应 一、粒子进入势垒 二、有限宽势垒和隧道效应 三、隧道效应的应用 ψ 2 ψ 1 透射? 反射 入射 1.势函数 讨论入射能量 E U0情况 x Ⅱ区 0 Ⅰ区 E U0 U(x) 一、粒子进入势垒 U ( x ) = U 0 í ì ? 0 x 0 x 0 I 区 令 2. 定态薛定谔方程 x Ⅱ区 0 Ⅰ区 E U0 U(x) 方程为 II 区 令 3.薛定谔方程通解 通解 通解 波动形式 指数增加和衰减 考虑物理上的要求 当x?? 时 ?2(x) 应有限 所以 D = 0 于是 E U0 Ψ2 透射 Ψ1 入射+反射 x Ⅱ区 Ⅰ区 0 4.概率密度 ( x 0 区 ) x 0区 (E U0) 粒子出现的概率 ? 0 U0? x? ? 概率 ? 本征波函数 概率密度 经典：电子不能进入E U的区域(因动能? 0) 量子：电子可透入势垒 　　　若势垒宽度不大 　　　则电子可逸出金属表面 在金属表面形成一层电子气 E U0 Ψ2 透射 Ψ1 入射+反射 x Ⅱ区 Ⅰ区 0 二、有限宽势垒和隧道效应 隧道效应 E Ψ1 Ψ2 0 a U0 x Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区 x = a Ψ3 隧道效应 E Ψ1 Ψ2 0 a U0 x Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区 Ψ3 振幅为 波穿过势垒后 将以平面波的形式继续前进( ) 称为势垒穿透或隧道效应