薛定谔方程在行动.doc

薛定谔方程在行动 Marianne Freiberger 关键词：?薛定谔方程,?概率 假设你有一个粒子在一个盒子内的两堵墙之间来回反弹，且粒子只沿着一维的x-轴，在两个不能穿过的垂直墙x=0和x=L之间运动。在盒子内部没有力作用在粒子上，所以这里它的势能为0，即对0xL有V(x,t)=0。当粒子撞击 墙面时，无穷大的力将它推回，故势能V(x,t)对x≤0和x≥L为无穷大。 盒子中的粒子 d2ψdx2+8π2mEψh2=0,(1) 其中m为粒子的质量，E是它的 总能量，h=6.626068×10?34m2kg/s是普朗克常数。 方程(1)的解是一个函数ψ(x)，具有下面的一般形式 ψ(x)=Acos??8π2mEh2???????√x??+Bsin??8π2mEh2???????√x??,(2) 其中A与B为任意常数。 当时间为t时，在位置x处粒子的概率和|ψ(x)|2有关。我们知道，因为粒子需要无穷大的能量才能冲出盒子外（即 到达x0或xL的区域），所以它不可能离开盒子。这意味着当x0及xL时，ψ(x)=0。因为?ψ在盒子的边界处是连续的，我们得到ψ在x=0和x=L时也为0。 第一个边界条件ψ(0)=0意味着 0=Acos0+Bsin0=A, 因此我们可以丢掉第一项，这样我们的方程变为 ψ(x)=Bsin??8π2mEh2???????√x??.(3) 而第二个边界条件ψ(L)=0意味着 0=Bsin??8π2mEh2???????√L??, 因而或者B=0或者正弦项为?0。前者推出ψ处处为0，但这是不可能的，因为我们知道粒子总在盒子的某处。这样我们得到 0=sin??8π2mEh2???????√L??. 因为siny=0当且仅当y是?π的倍数，因此 8π2mEh2???????√L=0,??π,??2π,??3π,??… 换言之， 8π2mEh2???????√L=nπ, 其中n为一正整数。这告诉我们粒子的能量只能是 对应于n=0,1,2,…的离散值 En=n2h28mL2.(4) 对应于能量级En的n称为En的量子数 。 量子数n=0对应于零能量---但它也给出在盒子里处处为零的波函数ψ0，意味着粒子不能位于盒子中的任何地方。这 样，量子数n=0也要出局，结果是被允许的能量级为 En=n2h28mL2,??n=1,2,3,…(5) 波粒二象性是量子力学中的核 心概念。 能量谱是离散的，即并不是所有的能量都被允许（特别是零能量不能出现），这一结果是无法从经典力学中得到的结果。事实 上，它挑战了像能量这样的量应该连续变化的传统智慧：根据莱布尼茨的说法，“自然不让跳跃”。经典物理也告诉我们，一个 系统的最低能量状态（也称为真空基态）应当具有零能量。但是这些奇怪的量子结果与量子系统的实验观察相吻合，例如氢原子 的离散能量谱。 进一步地，我们知道常数B的值可以通过对波函数归一化而获得。回想|Ψ(x)|2是于时刻t在位置x处发现粒子的概 率密度，并且有下面的关系： |Ψ(x)|2=|ψ(x)2e?(2πE/h)t|=|ψ(x)2||e?(2πE/h)t|, 其中e?(2πE/h)t是一个复数，可以写成 e?(2πE/h)t=cos(?(2πE/h)t)+isin(?(2πE/h)t). 根据三角函数中的恒等 式， cos2(?(2πE/h)t)+sin2(?(2πE/h)t)=1 复数的模|e?(2πE/h)t|为1?。因此有 |Ψ(x)|2=|ψ(x)2||e?(2πE/h)t|=|ψ(x)|2. 因此，粒子在盒子中某处的概 率由式子 ∫L0|Ψ(x)|2dx=∫L0|ψ(x)|2dx 给出。因为知道粒子总是在盒子的某一处 ，就有 ∫L0|Ψ(x)|2dx=∫L0|ψ(x)|2dx=1. 把ψ(x)的表达式(3)带入，就得 到 ∫L0B2sin2??8π2mEh2???????√x??dx=1. 利用下面的 不定积分： ∫sin2(ax)dx=?12asin(ax)cos(ax)+x2, 我们计算出 B=2L??√, 盒子中的粒子：x轴表示粒子的 位置，y轴表示粒子的能量。允许的前4级能量水平在图中用水平虚线表示。波函数叠加显示在图中相应的能量水平位置上。图片来源：Papa November 因此我们最后推导出： ψ(x)=2L??√sin??8π2mEh2???????√x??. 将 (4)式给出的E的可能值En带入，我们有无穷个波函数ψn(x)（每个量子数，即允许的能量级，与之一一对应）： ψn(x)=2L??√sin(nπxL),??0xL. 这给了又一个令人惊讶的结果：对大于1的任何n，我们都可以找到盒子中的一点x使得ψn(x)=0，说 得更明白一点，取x=kL/n，其中整数kn，则可以验证0xL且sin(nπx/L)