厄米算符和连续谱.ppt

* 主讲：林洁丽 alishalin@163.com 电子与信息工程学院光信息工程系 2012年9月 量子力学 第三章 矩阵力学 提纲 §3.1 力学量的平均值 §3.2 算符的运算规则 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数（简介） §3.5 量子力学中力学量的测量值 §3.6 不确定性原理 第11 讲 第三章 矩阵力学基础(I) ——力学量和算符 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数 结束 §3.3厄米算符的本征值和本征函数 引言 表示力学量的算符所满足的条件 厄米算符的本征值特点 厄米算符的本征函数的完备性 厄米算符的本征函数的封闭性 厄米算符的本征函数的正交归一性 返回 量子力学算符的意义和作用 表征微观系统力学量 建立微观系统运动方程 可以在不同表象中测量力学量平均值 在自己表象中测量本征值 力学量量子化 返回 表示力学量的算符所满足的条件 线性算符：态叠加原理 →薛定谔方程式是线性方程→哈密顿算符以及组成该算符的所有力学量算符都必须是线性算符 。 厄密算符（本征值必须取实数 ）：所有力学量的测量值都是实数 。 （1）厄密算符的本征值是实数的证明 （2）例子 证明坐标算符和动量算符是线性厄密算符。而对数算符不是线性算符。 （3）练习 本征函数组必须构成完备组 ：体系必定有一些运动状态的波函数在按这个函数组展开后与另外加进的基函数有关，有的甚至是只与这些加进的基函数有关，那么在这些状态下测量该力学量，所得到的可能取值有些甚至全部不是这个算符的本征值，换句话说，这个力学量在体系的这些状态下不可测量，从而说明该量不是力学量（因为力学量总是可以测量）。 （注意：构成完备组的函数可以作为Hibert黑波特空间中(第四章)的基函数组。） 返回 厄密算符的本征值是实数的证明 厄密算符的本征值是实数的证明（经典题目） 利用厄密算符定义：?ψ*?Φdx=?(?ψ)*Φdx，可以证明密算符的本征值是实数。 设厄密算符?属于本征态ψ的本征值为λ，则?ψ=λψ 令Φ=ψ则有：?ψ*?ψdx=?(?ψ)*ψdx 利用本征方程上式左边和右边分别得到： 左边=?ψ*λψdx=λ?ψ*ψdx，右边=?(λψ)* ψdx=λ*?ψ*ψdx， 所以λ?ψ*ψdx =λ*?ψ*ψdx，即λ=λ*，因此λ是实数。 返回 厄米算符典型特性 厄米算符的本征值是实数 逆定理：在任何状态下平均值为实数的算符必定是厄米算符。 返回 厄米算符本征函数系的完备性 通过算符本征方程求得的一组本征函数是 任何满足同样边界条件且在同样区间内定义的波函数都可以由它展开（因为）： 返回 厄米算符本征函数的正交归一性 属于不同本征值的本征函数正交归一（证明） 返回 属于相同本征值的本征函数可以经过重新组合得到的新函数正交归一，本征值不变（证明见P99） 厄米算符本征函数的正交归一证明 返回 已知 厄米性 取共轭 所以 得到 结论 合并： 正交归一 厄米算符本征函数系的封闭性 要求 返回 完备性：是指波函数能完全代表微观体系的状态，由这些状态测量的力学量是确定的和正确的。 封闭性：是指本征值的取值范围，或域。此域之外，波函数为零，力学量的取值也是零。 这就是通常说的完全正交归一化条件。 例子： 无限深势阱、谐振子、角动量z分量、氢原子的电子运动波函数等的正交归一性。