【2017年整理】3.5厄米算符本征函数的正交性.ppt

§3.5厄米算符本征函数的正交性 一．两函数正交定义：如果两函数 满足关系式 则称 和 相互正交。 ，（3.5.1） 二．定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相 互正交。 设算符 是厄米算符， 是它的本征函数， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 相应的本征值为 ，则当 时，有 （3.5.2） 证明： （3.5.3） （3.5.4） 且当 时， （3.5.5） 因为 是厄米算符，本征值是实数， 即 ， 所以（3.5.3）的复共轭式为 上式右乘 ，并积分，得 （3.5.6） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 再以 左乘（3.5.4）式，在积分，得 （3.5.7） 由厄米算符定义有， 所以（3.5.6），（3.5.7）两式左边相等，因此有 （3.5.8） ，所以 因为 所以属于不同本征值的本征函数彼此正交。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 无论 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理 及其证明都成立。 在 的本征值组成连续谱的情况下，假定 化，即 （3.5.9） 已归一 把（3.5.2）和（3.5.9）合写在一起 （3.5.10） 称为厄米算符 的正交归一化条件。式中 是克罗内克符号， 如果 的本征值组成连续谱，则它的本征函数 可以归一化为 函数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即 （3.5.11） 如果 的本征值是f度兼并的的，属于它的本征 函数有f个： 则上面的证明对于这些函数不适用，一般来说， 函数不一定相互正交，但是我们总可以用 个常数 把这f个函数线性组合成f个新函数 ： 这些 （3.5.12） 使得这些新函数 是相互正交的。因为 的正交归一化条件： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （3.5.13） 共有 个方程，其中 的f个， 的有 ， 而系数 共有 个， 当f1时， ， 即待定系数 的数目大于方程的个数， 所以有许多种方法选择 ，使得函数 交归一化条件， 满足正 显然 仍是 的本征值 征函数： 的本 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三．常用的正交归一函数系 1.线性谐振子 组成正交归一系； 2.角动量算符 的本征函数 组成正交归一系： 角动量平方算符 属于本征值为 的本征函数 组成正交归一系： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3. 氢原子的波函数 组成正交归一系： 4. 一维无限深势阱（宽为a）的能量的本征函数 组成正交归一系： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-20