机械工程控制基础~补-拉普拉斯变换.ppt

例如：舰船的消摆系统，稳定平台的随动系统等，就是处于形如正弦函数的波浪下工作的。 欧拉公式将指数函数与三角函数这两种截然不同的函数联系起来,被誉为数学中的“天桥”。当 wt=π 时,e^jπ=cosπ+sinjπ=-1+0，它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。 * 正弦、余弦函数的拉氏变换都用到了欧拉函数，必须熟练记忆。 * 必须会使用拉氏变换表，必须熟练记忆1、2、3、4、6、7、8，最好记住5、9，其他可查表得到。 * 线性性质：即原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 * 这两个定理长得很像，不要记混：一个是实数域延迟——实数域的位移定理（延迟定理），一个是复数域延迟——复域中的位移定理。 * 原函数自变量在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都展宽（或收缩）同样倍数。 * 注意，最终的结果要想较为简便，必须有前提条件：当自变量为0时，从低阶导数到高阶导数均为0。 * 注意，最终的结果要想较为简便，必须有前提条件：当自变量等于0时，从低阶导数、积分到高阶导数、积分均为0。 * 注意，初值定理、终值定理要一起记忆，记住，是谁的初值、谁的终值——是原函数的，原函数的初值对应象函数的终值，原函数的终值对应象函数的初值。 * 部分分式法的思路清比较晰，记忆时最好通过例题详讲，在理解基础上记忆。后边的讲解要注意：记清固有步骤，通过例题加深理解。 * 零极点的概念要重复记忆、强化记忆。 * 问些常用阶乘，1!=? 0!=? 答案：1!=1 0!=1 * * * * 5、积分定理 若 ,则 式中 是 在t=0时的值。 同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以 。 若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为： 6、初值定理 即原函数 在自变量 从正趋于零时的极限值，取决于其象函数 的自变量 趋于无穷大时 的极限值。 7、终值定理 若 ，则 即原函数的终值等于其象函数乘以s之后的初值。 这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。 例：已知 ，求 和 。 解： 验证： ，则 ， 五、拉氏反变换的数学方法 已知象函数 ，求原函数 的方法有： ①查表法：即直接查表，查出相应的原函数，适用于较简单的象函数。 ②有理函数法：根据拉氏变换公式求解，由于公式中的被积函数是一个复变函数，需用复变函数中的留数定理求解，较复杂，本文不作介绍。 ③部分分式法：通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数（这些部分分式的拉氏变换简单易记或在表中可查），总的原函数即可求得。 这里介绍部分分式法。 例1： 例2：求 的逆变换。 解： 一般， 是复数 的有理代数式，可表示为 式中 和 分别为 的极点和零点，它们是实数或共轭复数，而且一般 。 1、 无重极点的情况 总是能展开为下面简单的部分分式之和： 为待定系数 先在等号两边同乘以 ，后以 代入，即有： 故有 即： 依此类推有： 因为： 所以： 当 某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法求解。 例：求 的拉氏反变换。 解：易求极点为 易得 实部虚部分别相等得： 左右相等得： 设 有r个重极点，其余极点均不相同，则： 2、 有重极点的情况 式中系数 求法与无重极点所讲述的方法相同， 即： 式中 的求法如下： 由此求得所有的待定系数。 的反函数为： 重极点： 例：求 的拉氏反变换。 解： 因而上式拉氏反变换为 将A1、A2、B1、B2 代入前面方程得 六、用拉氏变换解常微分方程 步骤如下： 1、对微分方程两边取拉氏变换，得其象函数 ； 2、由象函数方程 解出象函数的代数方程G(s) （要化成部分分式和的形式）； 3、取拉氏反变换解出微分方程的解g(t) 。 例：求微分方程 满足初始条件 的解。 解∶对方程两边取拉氏变换得（此处使用了微分定理。）： 代入初始条