4-拉普拉斯变换法.ppt

Fo Θc Θc1 Θc2 0.001 1.0000 0.9332 1.0000 0.004 1.0000 0.9591 1.0000 0.010 1.0000 0.9850 1.0000 0.020 1.0000 0.9978 1.0000 0.040 0.9992 0.9991 0.9992 0.050 0.9969 0.9971 0.9969 0.060 0.9922 0.9923 0.9922 0.080 0.9752 0.9752 0.9752 0.100 0.9493 0.9493 0.9493 0.200 0.7723 0.7273 0.7723 前四项计算结果： Fo Θc Θc1 Θc2 0.4 0.4745 0.4745 0.4744 0.6 0.2897 0.2897 0.2896 0.8 0.1769 0.1769 0.1768 1.0 0.1080 0.1080 0.1079 1.2 0.0659 0.0659 0.0660 1.4 0.0402 0.0402 0.0402 1.6 0.0246 0.0246 0.0244 1.8 0.0150 0.0150 0.0146 2.0 0.0092 0.0092 0.0082 2.5 0.0026 0.0026 0.0007 第四章 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法 分离变量法：线性齐次导热问题 拉普拉斯变换法：把对时间的偏导数从导热微分方程中消去 为齐次和非齐次线性导热问题的求解提供了一个系统而简捷的方法，对于非齐次项比较复杂的情形特别有效 §4-1 拉普拉斯变换法定义与性质 一、定义：假设函数f(τ)在时间τ0时有定义，把f(τ)乘以指数函数exp(-sτ)，并对变量从0到无穷大积分，可得到一个关于参数s的新函数: 其中s=c+iβ是一个复变量 ，这个新函数称为函数f(τ)的拉普拉斯变换。 被变换的函数f(τ)称为原函数，变化后得到的新函数 称为象函数。 如果等号右边的积分收敛，则说函数f(τ) 的拉普拉斯变换存在，否则函数f(τ) 的拉普拉斯变换就不存在。 存在拉普拉斯变换的函数必须满足下列条件： （1）? 在 时间的任意有限区间内，函数 连续或分段连续。 （2） 时间 时，对于常数 , 是有界的。 （3） 函数 的增大是指数级的，即存在常数 和 ，使得对于任何 的值，下列不等式成立： 对象函数 进行逆变换，即可得到原函数 f(τ) ，并由下列里曼—梅林（Riemann-Mellin）反演公式实现这样的逆变换运算： 例：f(τ)=1 例：f(τ)= τ 例：f(τ)= exp(-bτ) 二、拉普拉斯变换性质 1、线性定理 二、性质 2、位移定理 二、性质 3、迟延定理 二、性质 4.相似定理 二、性质 5.微分定理 二、性质 6.积分定理 二、性质 7.卷积定理 二、性质 8.象函数微分定理 二、性质 9.象函数积分定理 §4-2拉普拉斯变换的逆变换 把变换后的函数从复变量s区域变回到时间变量τ区域的逆变换 部分分式法 回路积分法 查变换表 §4-3用拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题 变量T(x,τ)的定解问题：偏微分方程+边界条件 原定解问题的解 T(x,τ) 对t(x,s)进行逆变换 变换变量t(x,s)的常微分方程边值问题 对定解问题进行拉普拉斯变换 求常微分方程边值问题，得到t(x,s) 例：物理问题 一无限大平板 L-≤x≤L,初始温度为ti，时间τ＞0时，x=±L时边界维持常温tw (tw ≠ ti)，求平板内温度分布。 O x L 绝热 t (x,τ) 数学描述： 0 ＜ x ＜ b ，τ＞0 x ＝0 ，τ＞0 x ＝ L ，τ＞0 0 ≤ x ≤L ，τ＝ 0 解：(1)进行 拉氏变换 x ＝0 x ＝ L 解：(2)对象函数方程求解 x ＝0 x ＝ L A=0 (3) 逆变换(查表) §4-4适用于短时间与长时间的解 初值定理: 如果 是函数 的拉普拉斯变换，而且 存在，则 初值定理确定了复变量区域内大的s值与时间区域内小的τ值之间的对应关系， 终值定理 如果 是函数 的拉普拉斯变换，而且 存在，则 终值定理确定了复变量区域内小的s值与时间区域内大的τ值之间的对应关系， 注意：应用此定理前请先对极限是否存在作出判断。 对于大平板一维非稳态导热 ，对于大的τ值迅速收敛，适合于长时间