[2018年最新整理]1第一章线性方程组.ppt

几点说明 1、教材：《线性代数》江龙等编 中国高等教育出版社； 2、教材上的“发展阅读”作为学生自学内容； 3、历年考题的购买时间另行通知，请任课教师第一次上课时告知学生我们将印刷最新版的历年考题。 化阶梯形：从上到下，从左到右。 阶梯形 最简阶梯形 根据例2，不难得到下面定理： 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯矩阵和行最简形梯矩阵. 梯矩阵不唯一, 行简化梯矩阵唯一. 定理 例3 用初等行变换将A化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简阶梯形矩阵. 作业：P11 2，4 特别地, 当 m=n 时,称为 n 元齐次(非齐次)线性 方程组. (1) 若常数项 全为零, 则称方程组为 齐次线性方程组. 反之, 若常数项 不全 为零, 称为 非齐次方程组. 线性方程组 定义 §1.3 解线性方程组的矩阵解法 当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组 称为(1)导出的齐次线性方程组。 若存在 使(1)式每个方程成为恒等式，则称 是(1)的一个解,否则称之为无解或不相容。 例如 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵 称为方程组(1)的增广矩阵. 定义 (注意方程组初等变换与增广矩阵初等行变 换的关系） 我们将通过下面的例子,来说明高斯消元法的求 解过程. 例1 解线性方程组 解 互换方程(1)与(2)的位置,得 (1) (2) (3) (2)－(1)×2, (3)－(1)×4, 得 (3)－(2), 得 (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (3)×(-1/2),得 (1) (2) (3) 梯形方程组 梯矩阵 (2)+(3)×2, (1)+(3)×(-2), 得 (2)×(-1/3), 得 (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) –(2), 得 可得原方程组的解为： (1) (2) (3) 行简化梯矩阵 (1) 交换方程的位置； (2) 以不等于0的数乘某个方程两边； (3) 一个方程加上另一个方程的若干倍. 由于三种变换均可逆, 所以变换前的方程组与变 换后的方程组是同解的. 在例1的求解过程中，对方程组始终用到如下 三种变换: 等价地，就是对增广矩阵只实施初等行变换. 对增广矩阵使用初等行变换化梯矩阵: 最后一行对应的方程是：0 = 2 ,所以方程组无解. 求解非齐次线性方程组 解 例2 (1)对增广矩阵使用初等行变换化行简化梯矩阵: 解非齐次线性方程组 例3 解 (2) 写出同解的最简梯形方程组 (3) 移项:保留第一个未知量在左边,其余的移到右边 此时, 右边的未知量称为自由变量. (4) 令自由变量,取任意常数,即得一般解(通解或全部解) 即令 , 为任意常数. ( 取任意常数) 得方程组的一般解为: 不妨设 线性方程组(2.2)的增广矩阵经过一 系列初等行变换化为如下梯形矩阵, 一般线性方程组解的情况 未写出的全为零, 同解梯形方程组为 (2.3) 由梯形方程组可得 1) 若 ,方程组(1)中有矛盾方程,方程组无解; 2) 若 则方程组有解， 方程组有唯一解. 当 r = n 时,梯形方程组为 2) 若 则方程组有解，且 当 r n 时,梯形方程组为 移项 任给自由变量 一组值, 可唯一确定 因此原方程组有无穷多个解. 定理 设方程组的增广矩阵 经过初等行变换化为行阶梯形矩阵T ,系数矩阵A化为行阶梯形矩阵的 的阶梯数为r, (1)当T 的阶梯数=r+1时，方程组无解； a)当 r