四线性方程组.doc

第四章 线性方程组 习题一 消元法 一、用 表达 的解的形式称为线性方程组的一般解. 二、满足(1) (2) 条件的矩阵称为阶梯形矩阵；除 这两个条件外，还满足条件(3) (4) 的矩阵称为 行简化阶梯形矩阵. 三、阶梯形方程组与原方程组是 解方程组. 四、用消元法解方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 五、求的值，使方程组有解，并求出其解. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 习题二 维向量空间 一、向量与向量相等吗？应怎样表达他们之间的关系？ ? ? ? ? ? 二、设求向量，使 . ? ? ? ? ? ? 三、已知向量满足，试求常数. ? ? ? ? ? ? 习题三 向量间的线性关系 一、已知(1=(1，0，2，1)，(2=(1，2，0，1)，(3=(2，1，3，0)， (4=(2，5，-1，4)，判断向量组(1，(2，(3及向量组(1，(2，(3，(4的线性相关性． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二、若向量组(1，(2，(3线性无关，则(1+(2，(2+(3，(3+(1线性无关?若向量组线性相关，则(1+(2，(2+(3，(3+(1线性无关? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 三、已知向量组(1，(2，(3线性无关，设(1=(m-1)(1+3(2+(3，(2=(1+(m+1)(2+(3，(3=-(1-(m+1)(2+(m-1)(3，试问m为何值时，向量组(1，(2，(3线性无关？线性相关？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 四、判断下列向量组是否线性相关，若相关，试找出其中一个向量，使得这个向量可由 其余向量线性表出，并写出它的一种表示方式： (1) ； (2) . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 五、证明：若线性相关，而线性无关，则： (1)可由线性表示； （2）不可由线性表示. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 六、设向量是线性无关的一组四维向量，则任意一个四维向量都可以由线性表示. ? ? ? ? ? ? ? ? 习题四 向量组的秩 一、已知向量组(Ⅰ)：(1，(2，(3；(Ⅱ)：(1，(2，(3，(4；(Ⅲ)：(1，(2，(3，(5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r((1，(2，(3，(4+(5)． ? ? ? ? ? 二、求向量组： (1=，(2=，(3=，(4=，(5= 的秩及其极大无关组． ? ? ? ? ? ? 三、设是维列向量组，试证：秩的充要条件是任 何维向量均可由线性表示. ? ? ? ? ? ? 四、设向量组(Ⅰ)：(1，(2，…，(m的秩为r(r1)，证明向量组(Ⅱ)： (1=(2+(3+…+(m，(2=(1+(3+…+(m，…，(m=(1+(2+…+(m-1的秩也为r． ? ? ? ? ? ? 习题五 矩阵的秩 一、设矩阵,若它的秩等于3，求的值. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二、计算下列矩阵的秩 （1） （2） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 三、设向量组， .求其极大无关组. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 四、试求向量组的秩和一极 大无关组，并将其余向量用此极大无关组表示. ? ? ? ? 习题六 线性方程组解的判定 ??????????? 一、求a和b的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求它的一般解？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二、为何值时，线性方程组有解？无解？ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????? 三、设线性方程组为 问a与b各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时，求其全部解． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 习题七 线性方程组解的结构 一、求齐次方程组 的一个基础解系，并用此基础解系表示通解. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二、求齐次线性方程组 的一个基础解系. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????? 三、设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知(1，(2是该方程组的两个解，其中 (1=，(2= 写出此方程组的全部解． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 四、、取何值时，线性方程组 有解，并求出全部解. 综合复习题 一、选择题 1.n维向量组(1，(2，…，(s(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是( )． (a) 存在不全为零