线性方程组1.doc

第一讲§3.1 线性方程组的消元解法 Ⅱ 教学目的与要求： 理解线性方程组的消元解法与矩阵初等变换的关系，熟练掌握通过矩阵初等行变换对线性方程组进行消元的方法； 了解矩阵秩的概念及其与线性方程组解之间的关系，会用矩阵的秩来判断线性方程组何时有解、无解、有唯一解及有无穷解。 中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元法。下面再作三例，以求其规律。 例1 解线性方程组 （1） 解：交换第一、二两个方程， 得同解组 （2）-2 ，（3）-4 得同解组 [（）-（2，）]（-2） 得同解组 （2） 至此消元过程完结，接下来是回代过程： 将代入得 =-2，再将=-2，=2代入 得=-1， 从而（2）有唯一解：x1=-1，x2=-2，x3=2，也是（1）的唯一解 例2 求解线性方程组 解： (2)-2(1)，(3)-3(1) 得同解组 7， 5 得同解组 得 其解为z=1，y=t(任意)，x=4-3t，所以方程组有无穷多解。 例3 求解线性方程组 解：同例2，得同解组： 矛盾，无解 以上三例，求解过程中，对方程组共施行了三种变换： 互换两个方程的位置； k某一方程 （k≠0） 用一个数k乘某一方程后加到另一个方程上去。 ——称为方程组的初等变换，与矩阵的初等行变换完全相同。所以线性方程的求解完全可以由其增广矩阵的行初等变换求出。 例4 求解线性方程组：  (3) 解：先写出其增广矩阵并施以行的初等变换，化为上阶梯形 （系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等） 再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到（3）的同解方程组：  自下而上回代，解出用x5表达x1，x2，x3，x4的结果： （可任意，称为自由未知量） 所以（3）有无穷多解。 一般地，我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理： 定理1 线性方程组 有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等，即R(A)=R(B)。 其中A=，B== 证：利用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形 B= D== （不妨设c11,c22 …crr不为零） 相应地，方程组（4）就化为与它同解的阶梯形方程组 （5） 由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（C），R（B）=R（D）。 （ⅰ）必要性 若方程组（4）有解，则方程组（5）也有解，故dr+1=0， 这时R（D）=R（C），从而R（A）=R（B）。 （ⅱ）充分性 若R（A）=R（B），于是R（C）=R（D）因而dr+1=0，所以方程组（5）有解，从而方程组（4）有解。 证毕 定理2 若方程组（4）的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，且等于r， R（A）=R（B）=r，则 （ⅰ）当r=n时，（4）有唯一解； （ⅱ）当rn时，（4）有无穷多解。 推论 当mn时，齐次线性方程组 （6） 必有非零解。 例5 问λ取何值时，方程组 （1）无解 ； （2） 有唯一解 ； （3） 有无穷多解 解： 将增广矩阵化为上阶梯形 B== 讨论：1.当λ=-6时，R（A）〈R（B），故方程组无解。 2.当λ≠-6，λ≠3时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解： x3=, x2=, x1= 3.当λ=3时，R（A）=R（B）=1，有无穷多解： ,即（其中为自由未知量） 例6 讨论a,b取何值时，方程组 （ⅰ）有唯一解；（ⅱ）无解； （ⅲ）有无穷多解，有解时求出其解。 解： 对增广矩阵B进行初等行变换 B= = 讨论：(ⅰ)当b+52≠0时，R（A）=R（B）=4=n,方程组有唯一解，其解为（回代） x4=-,x3=- (ⅱ)当b+52=0而a+1≠0时，R（A）=3，R（B）=4，无解 （ⅲ）当b+52=0，a+1=0时，R（A）=R（B）=3〈4，方程组有无穷多组解这时，再对进行初等行变换，得 故原方程组同解于 （为自由未知量）