自动控制原理第二章 控制系统数学模型1.ppt

第二章 控制系统的数学模型 教学目的 教学重点与教学学时 教学内容 教学内容 第二章第一次课：时域模型 第二章第二次课：复域模型 第二章第一次课：复域模型 第二章第三次课：结构图 第二章第五次课内容 　　 数学模型：描述系统内部物理量（或变量）关系的数学表达式。 　　二种数学模型： 　　a.静态数学模型：在静态条件下（变量各阶导数为零），描述 变量之间关系的代数方程和。如：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 如何建立数学模型 　 建立数学模型用二种方法：1.分析法　　2.实验法 　 分析法：根据系统运动本身的物理、化学规律，列出相应的运 动方程。 　　如：电工学中的克希霍夫定律；力学中的牛顿定律等。 　　实验法：对于运动规律很复杂的系统或一个未知的系统无法用 一个准确的数学关系式来描述时，可用实验法。 数学模型有多种形式 1.以时间为变量所建立的模型称为时域模型——微分方程。 2.在复平面内建立的模型称为复域模型——传递函数。 3.以频率为变量所建立的模型称为频域模型——频率特性。 　　同一系统所取变量不同，其模型也不同，因此同一系统可用 多种方法去研究。 例：2-6解2-1题的微分方程 设：L=1；C=1；R=1； Uc(0)=0.1；i(0)=0.1；Ur(0)=1(t) 因为： 代入数据： 根据KVL：UL(t)+UR(t)+UC(t)=Ur(t)所以：用　　　　　　　代入，消去中间变量i(t)得到描述电路的输入－输出关系的微分方程，即数学模型： 从以上的两例子，我们总结出建立数学模型的步骤： 1.根据元件的工作特性及其在控制系统中的作用，确定输入 量和输出量。 　 输入量：外界加在系统的控制约束量； 　 输出量：所关心的或需测量的系统状态。 2.分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的 微分方程。 3.消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程， 即是系统的数学模型。 线性定常微分方程求解 　　系统的数学模型建立后，需要对其进行分析，即求 解微分方程，求解微分方程一般有两种方法：经典法即 解微分方程和拉氏变换方法，在控制理论中多用后者。 常用的几个拉氏变换公式及定律 1.阶跃函数 2.指数函数 3.三角函数 4.脉冲函数 拉氏变换的几个性质 1.线性定理： 2.微分定理： 例：2-6：解2-1题 设： 因为： 代入数据： 用Laplace变换求解线性常微分方程过程 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行Laplaec变换，将微分方程转换为变量为s的代数方程。 求出输出量的 Laplac函数的表达式。如： 对输出量的Laplace变换函数求反变换，即为微分方程的解。 非线性元件微分方程的线性化 将非线性元件线性化有二种方法： 1.在某一定条件下，忽略非线性因素的影响，将它们视为线性 元件，如：电阻、电容、电感都是在一定的条件下忽略周围环境 (温度、湿度、压力等)对其的影响；电动机忽略摩擦、死区等非线 性因素；线性放大器忽略死区、饱和的影响。 2.切线法或小信号分析法，如晶体管放大电路的小信号分析法。 2-2.复域数学模型 控制系统的另一个分析方法是：“传递函数”。传递函数不仅 可以表征系统的动态性能，而且可以研究系统的结构或参数变化对 系统的影响。 传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。 定义：线性定常系统的传递函数，是在零初始条件下，系统输 出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 传递函数的性质 1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，且具有复变量函数 的性质( s=δ+jβ)且m≤n，所有的系数均为实数。 2.传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的 表达式，它只取决于系统的和参数，而与输入量的形式无关，也不 反映系统内部的任何信息(即工作状态)。如传递函数： 式中，L、R、C均是系统参数。 如何确定传递函数的零点、极点 1.将传递函数的分子、分母多式分 解成因式之积，并消去公因子，即 得传递函数的零点、极点。 2.零点在分子，极点在分母。 3.零点和极点可以是实数或共轭复 数。 4.在s平面上：零点用“○”表示。 　　　　　　极点用“×” 表示。 在c1(t)、c2(t)中，它们的自由模态相同 　 这是因为他们有相同的极点， 它们按相同的规律衰减，但它们 的衰减系数不同，这是因为它们 的零点不同从曲线图上所示看， 尽管c1