工程力学 教学课件 作者 顾成军姜益军廖东斌 主编 第5章 平面图形的几何性质.ppt

尚辅网 尚辅网 * 工程力学 尚辅网 惯性矩 极惯性矩 惯性积 2 静矩与形心 1 第5章　平面图形的几何性质 平行移轴公式 转轴公式 主惯性轴与主惯性矩 3 4 惯性矩的近似计算方法 5 尚辅网 第5章　平面图形的几何性质 工程力学所研究的各类杆件，其横截面都是具有一定几何形状的平面图形，例如圆形、矩形、工字形及简单图形的组合等。在进行结构设计时，常会涉及一些与构件截面形状、尺寸有关的几何量，例如，在前述轴向拉（压）杆的正应力计算中，涉及截面面积A。在以后的讨论中，还将遇到静矩、惯性矩、极惯性矩等几何参数。它们都是与构件横截面的形状、尺寸有关的几何量。这些几何量统称为平面图形的几何性质。 实践证明，构件的强度、刚度、稳定性均与平面图形的几何性质有关。因此，要研究构件的强度、刚度、稳定性问题，就必须掌握截面的几何性质与计算及其变化规律，这样就能够为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，从而使构件各部分材料能够比较充分地发挥作用、 尚辅网 图5-1为任意形状的平面图形，面积为A，x轴和y轴为图形所在平面内的坐标轴。在图形内坐标为（x，y）处取一微面积dA则xdA和ydA分别称为该微面积dA对于y轴和x轴的静矩，而整个图形面积A对y轴和x轴的静矩应等于在。面积范围内所有这些微面积静矩的总和，即 5.1 静矩与形心 式中， 分别是图形对y轴和x轴的静矩，也称为图形对y轴和x轴的一次矩或面积矩。 尚辅网 均质物体的重心也就是它的几何中心，即形心。将图5-1所示平面图形看作均质等厚的薄板，则它的重心就是平面图形的形心。由3.4节已知“在Oxy坐标系中，均质等厚薄板的重心坐标为 即确定平面图形的形心坐标的计算公式。 计算组合图形形心坐标的公式为： 5.1 静矩与形心 尚辅网 图5-4为任意形状的平面图形，面积为A,x轴和y轴为图形所在平面内的坐标轴。在图形内坐标为（x，y）处取一微面积dA，则 和 分别称为该微面积dA对于y轴和x轴的轴惯性矩或惯性矩（若将dA看作质量，则 及 即为动力学中的转动惯量，由于形式上的相似，因此称之为惯性矩）。 5.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积 整个面积A对y轴和x轴的惯性矩等于在A范围 内所有这些微面积惯性矩的总和，即 式中的 分别是图形对y轴和x轴的惯性矩，也称为图形对y轴和x轴的二次矩。 尚辅网 在某些应用中，将惯性矩写成图形面积。与某一长度平方的乘积，即 式中的 分别称为图形对x轴和y轴的惯性半径。当图形面积和惯性矩知道后，惯性半径可根据下式求得： 若微面积dA至坐标原点O的距离为ρ，则 称为该微面积dA对于O点的极惯性矩。整个面积A对O点的极惯性矩等于在A范围内所有这些微面积极惯性矩的总和，即 5.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积 尚辅网 微面积dA与其分别至y轴和x轴距离的乘积xyzdA，称为该微面积dA对于x、y轴的惯性积。整个面积A对于x、y轴的惯性积等于在A范围内所有这些微面积惯性积的总和，即 式中的 称为图形对x、y轴的惯性积。 由上述定义可见，同一图形对于不同的坐标轴的惯性矩或惯性积一般也是不相同的。 5.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积 尚辅网 5.3 平行移轴公式 1 2 平行移轴公式 组合图形的惯性矩与惯性积 尚辅网 公式（5-13）通常称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式. 5.3.1 平行移轴公式 注意：上式中的a、b两坐标值有正负号，可由图形形心C在哪一象限加以确定。 尚辅网 工程上遇到的复杂图形，往往是由若干个简单图形组合而成的，如矩形、三角形、圆形等，有些则是由几个型钢截面组成。根据惯性矩和惯性积的定义可知，若组合图形是由n个部分组成，则此图形对于x、y轴的惯性矩和惯性积可分别按下式计算： 式中的 和 分别为组合图形中任一组成部分对于x、y轴的惯性矩和惯性积。在计算它们时，常需用到平行移轴公式。 5.3.2 组合图形的惯性矩与惯性积 尚辅网 如果已知某一平面图形对通过O点的一对直角坐标轴x、y的惯性矩 和惯性积 （图5-12），则当这对坐标轴绕O点旋转了一个α角时（ α角以逆时针旋转为正），平面图形对这一对新坐标轴 的惯性矩 和惯性积 可按下述关系求得： 上式就是惯性矩和惯性积的转轴公式，分别表示了平面图形的惯性矩和惯性积在坐标轴转动时的变化规律。 5.4 转轴公式 主惯性轴与主惯性矩 尚辅网 由式（5-15）的第三式可知，当坐标轴旋转时，惯性积 将随着α角作周期性变化，且有正有负。因此，一定存在某一角度α0，使平面图形对于新坐标轴 的惯性积 等于零，这一对轴称为主惯性轴。对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。当一对主惯性轴的交点与图