《最优控制》第2章变分法在最优控制中的应用教程.ppt

第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 例：在平面上给定O,A两点，O点位于坐标原点，A点沿曲线 移动，求一条曲线，连接OA两点，且有最短长度。 解：寻求最优轨线 使得 最小，且y满足 采用欧拉方程①得 则有 为直线 由横截条件 第2章——变分法在最优控制中的应用 三等式约束条件下的变分问题 已知泛函 二阶连续可微 寻求最优轨线x*(t)使J取极值，其中x(t)需满足等式约束条 引进拉格朗日乘子法 构造 件 于是有 则 此时欧拉方程 （L为矩阵，则有n个一阶方程） 第2章——变分法在最优控制中的应用 n 3.用变分法求解最优控制。 问题：已知被控制系统 性能指标 寻求最优控制u*(t)使J最小。 将状态方程视为等式约束条件，即有 引进拉格朗日乘子 构造 引进哈密顿函数 则 其中 引进拉格朗日乘子 使满足 不受约束，即 小结： 为最优控制的必要条件为： 1状态方程 2协态方程 3控制方程 4初始条件 5横截条件（即边界 条件） 说明：1协态方程和控制方程就是变分法中的欧拉方程 计算则得协态方程和控制方程 2由控制方程 函数取极值，同时 同时也就使J取极值。 3对最优控制 和最优轨线 而言，H函数对t 的全导数等于H函数对t的偏导数。 即 对于定常系统则 则H函数保持常数 例：已知系统 性能指标 寻求最优控制u*(t)使J最小。 解： 1构造哈密顿函数 2协态方程 3横截条件 4控制方程 5状态方程 2. 即有 维向量函数，再引入拉格朗 日乘子 为常向量。构造 其中 根据泛函极值必要条件可得： 1正则方程 2边界条件 3在系统完全可控的条件下，有 3. 为最优控制的必要条件： 1正则方程组 2在系统完全可控条件下 3边界条件 4. 变动的情况下， 则如下图所示 * * * 目 录AAcf 业务管理层 业务应用层 业务支撑层 通信协议层 通信网络层 终端应用层 * * * 第2章 变分法在最优控制中的应用 第2章——变分法在最优控制中的应用 例：考察平面上两点 之间曲线 的弧长 凡变量的值是由一个或几个函数的选取而确定的，这个变量称之为泛函。 (1)泛函的定义 1、变分法 S的值取决于函数y=f(x)的确定，S为y=f(x)的泛函。简而言之，泛函就是函数的函数。 复合函数： 第2章——变分法在最优控制中的应用 （2）泛函宗量的变分 当泛函宗量由x0(t)微量变动到x(t)时，称泛函宗量的增 量为泛函宗量的变分，用 表示 第2章——变分法在最优控制中的应用 ， ， ， （3）泛函的连续性 泛函 如果泛函J[x(t)]的宗量x(t)在x0(t)处有一个微量变动，同时泛函J[x(t)]的变化也很微小，则J[x(t)]在x0(t)出连续。 ①函数的接近度 ⅰ）零阶接近度 ii)一阶接近度 iii) k阶接近度 第2章——变分法在最优控制中的应用 ②函数空间 所有在[a,b]上连续，并且连续k阶导函数的函数构成一个函数空间，用Ck[a,b]表示。 考察平面上两点之间的距离 函数空间两点之间的距离 第2章——变分法在最优控制中的应用 ③泛函的连续性 ④线性泛函 连续泛函如果满足： 第2章——变分法在最优控制中的应用 为线性泛函 第2章——变分法在最优控制中的应用 ⑤泛函的变分 第2章——变分法在最优控制中的应用 ⑥函数变分