第二章变分法及其在最优控制中的应用-Read.ppt

第二章 变分法及其在最优控制中的应用 ; 如果有一类函数 ,对每一个函数 都有一个值 与之对 应，则J称为函数 的泛函数，简称泛函。记做 ，泛函 数实际为函数的函数。 即：泛函的值是函数的选取而定 ，函数 的值是由自变量的选取而定。 ; 特点：函数给定后，泛函J相对于一个确定的值， 如： 不是泛函，因为 给定时 ， 并不等于某个固定值，而是 的函数。泛函数的定义可推广到含有几个函数的情况， 如：最优控制常用指标： ; 泛函极值是一个相对概念 ， 实际为相对于 的一个微 小变化，变化形式有上述两种 :;（1） 即 与 相差的绝对值，对定义域中的一切 均很小， 则称 与 接近 零阶接近度，由此推出的 为弱相对极小。 ;3、 泛函的变分的定义： 求泛函的极值问题称为变分。 中， 称为泛函 的宗量（泛函的变量）。; ：AB间的距离函数 ;泛函 的变分 可通过增量形式求取： ;即： = ; 为 的线性主部 ，因此有： ; 定理1 如果泛函 是可微的，则泛函的变分为： ; 定理2 ：若可微泛函 在 上达到极值，则在 上的变分等于0，即 证明较简单，见书。;泛函的极值的必要条件——欧拉方程（以单变量为例，可推广）;解：把1 式化为u的显函数形式，即 代入4式，则有： ;将 6， 7式代入 5式，并将 在最优点 附近展开成泰勒级数，则有： ;由变分的定义可知： 的变分 为： ;8式就变为： ;2．欧拉方程的全导数形式 ;; 3．横截条件的分析 ;3 自由， 固定 ，图c 则横截条件变为： ;两个端点都是自由的 ;对 函数 在 处进行泰勒展开，则： ;;;由泛函取极值的必要条件： 则有： ;;例1：求固定点A（0，1）到给定直线 的弧长最短的曲线方程 ;根据欧拉方程： ;由终端条件： ; 3.2.2 目标泛函取极值的充分条件[自学] 欧拉方程是求解泛函极值的必要条件,而非充分条件,J取极大 值还是极小值,还需进一步加以判断. ;3.2.3欧拉方程和横截条件的向量形式（自学）;求： ，使 最小 ; 具有等式约束条件的最优化问题 ; 问题1 对于受控系统 ，由初始状态 出发，转移到末端状态 ，求容许控制 ， 使得目标函数 最小 ; 2)引入待定的拉格朗日乘子 ，将等式约束与原性能指标结 合成一个新的泛函 ; 三 数学补充：多变量函数的微分运算 在求解最优控制时，常遇到许多微分运算问题： 如:时变向量或矩阵对时间求导 多变量标量函数对向量或矩阵求导 多变量向量函数对向量或矩阵求导 ; 2设 为 时变矩阵 ;4设 为时变标量， 为时变向量，则： ; 例 其结果常用到： ;同理 ： ;例4：设 及 均为n维列向量，Q为 定常矩阵 ;其中： ;四 求解最优控制的必要条件：[根据不同的初，终端条件进行讨论] ; 令 =0，则得出问题1的求解最优控制的必要条件为： ; 其中： ; 例题分析：已知受控系统微分方程： ;; 协状态方程： ;由系统状态方程 所以 ; 例[3-8] 设给定目标函数： ;化为无约束条件的泛函极值问题; 对式2求导： ; 由2式 代入边界条件 ;;;注： ;（3）末端时刻;当末端状态由（ ;对上式利用分步积分及积分中值定理： ;