最优控制理论及应用.ppt

4.2.2固定端问题**（设）指标泛函采用“补偿函数”法补偿函数惩罚函数边界条件黎卡提方程逆黎卡提方程上有协态变量与控制变量的关系图整个最优轨线例3.4**，，把系统状态在终点时刻转移到性能指标泛函终点时刻是不固定的哈米顿函数伴随方程H是u的二次抛物线函数，u在上一定使H有最小值，可能在内部，也可能在边界上。最优控制可能且只能取三个值此二者都不能使状态变量同时满足初始条件和终点条件最优性能指标03最优轨线02最优控制01例3.5**使系统以最短时间从给定初态转移到零态哈米顿函数伴随方程最优控制切换及最优轨线示意图3.3古典变分法与最小值原理**古典变分法适用的范围是对u无约束，而最小值原理一般都适用。特别当u不受约束时，条件就等价于条件3.4极大值原理的应用：快速控制系统在实际问题中，经常发生以时间为性能指标的控制问题。如，当被控对象受干扰后，偏离了平衡状态，希望施加控制能以最短时间恢复到平衡状态。凡是以运动时间为性能指标的最优控制问题称为最小时间控制。3.4.1快速控制问题**性能指标时间上限是可变的从状态转移平衡状态所需时间最短构造哈密顿函数最小值原理分段常值函数例3.4.1有一单位质点，在处以初速度2沿直线运动。现施加一力，，使质点尽快返回原点，并停留在原点上。力简称为控制。若其它阻力不计，试求此控制力。质点运动方程状态方程哈密顿函数伴随方程最优控制**协态变量与控制函数4种情况示意图开关曲线相轨线族示意图**开关曲线总时间初始状态最优控制状态方程相轨线最优控制3.4.2综合问题**综合是将最优控制函数表示为状态和时间的函数即上例之最优综合控制函数例求快速返回原点的开关曲线和最优综合控制函数构造哈密顿函数伴随方程最优控制最优控制与协态变量的变化情况控制是“砰砰控制”，除了首尾之外，在和上的停留时间均为两族同心圆方程备选最优轨线族开关曲线相点沿轨线顺时针方向运动，其速度为第二段开关曲线整个开关曲线最优综合控制函数**01040203第四章线性二次型性能指标的最优控制用最大值原理求最优控制，求出的最优控制通常是时间的函数，这样的控制为开环控制当用开环控制时，在控制过程中不允许有任何干扰，这样才能使系统以最优状态运行。在实际问题中，干扰不可能没有，因此工程上总希望应用闭环控制，即控制函数表示成时间和状态的函数。求解这样的问题一般来说是很困难的。。但对一类线性的且指标是二次型的动态系统，却得了完全的解决。不但理论比较完善，数学处理简单，而且在工际中又容易实现，因而在工程中有着广泛的应用。4.1问题提法**动态方程指标泛函使求有最小值此问题称线性二次型性能指标的最优控制问题通常称为综合控制函数指标泛函的物理意义积分项，被积函数由两项组成，都是二次型。第一项过程在控制过程中，实际上是要求每个分量越小越好，但每一个分量不一定同等重要，所以用加权来调整，当权为零时，对该项无要求。第二项控制能力能量消耗最小。对每个分量要求不一样，因而进行加权。要求正定，一方面对每个分量都应有要求，否则会出现很大幅值，在实际工程中实现不了；另一方面，在计算中需要有逆存在。指标中的第一项是对点状态的要求，由于对每个分量要求不同，用加权阵来调整。4.2状态调节器**4.2.1末端自由问题01构造哈密顿函数02伴随方程及边界条件03最优控制应满足04求导（矩阵黎卡提微分方程）边界条件令最优控制是状态变量的线性函数借助状态变量的线性反馈可实现闭环最优控制最优控制对称半正定阵**例4.1性能指标泛函最优控制黎卡提微分方程最优轨线的微分方程**最优轨线最优控制解黎卡提方程的解随终点时间变化的黎卡提方程的解左端固定右端沿曲线变动横截条件C的推导例2.5设性能指标泛函**

末值时刻未定，已知解：由欧拉方程得由x(0)=1求出b=1；由横截条件知2.4含有多个未知函数泛函的极值**欧拉方程横截条件泛函边界值2.5条件极值**状态方程泛函引进乘子构造新的函数和泛函