最优控制的基本理论及应用详解.ppt

第6章 最优控制的基本理论及应用 6.1 引言 6.2 最优控制问题的提出及数学描述 6.3 变分法 6.4 极小值原理 6.5 动态规划法 6.6 二次型最优调节器 6.7 最小时间控制 6.8 应用MATLAB解二次型最优控制问题 6-119 式中, 6-120 将式 6-118 两端对t求导,得 6-121 将式 6-118 、 6-121 代入正则方程组，消去 及 ，得 6-122 6-123 将式 6-123 代入式 6-122 ,并整理后,得 6-124 式 6-124 称为黎卡提（Riccati）矩阵微分方程。 4 边界条件 据式 6-53 ,终端横截条件为 6-125 而当 时,式 6-118 为 6-126 由式 6-125 、式 6-126 得 时P t 的边界条件为 6-127 当矩阵A t 、B t 、Q t 和R t 的各元素在时间区间 上都是t的连续函数时，黎卡提矩阵微分方程在 上满足边界条件的解是存在且惟一的。在解得P t 后，即可按式 6-119 构成状态反馈的最优控制。结构图如图6-5所示。 图6-5 有限时间时变最优反馈系统 5 求最优轨迹 因为 6-128 将式 6-119 代入式 6-128 ,得 解式 6-129 并由始点边界条件 ,求解得最优轨迹 。 6-129 6.6.3 定常线性最优调节器 设线性定常系统 6-133 能控，性能指标为 6-134 式中, ; ,无限制 ; A、B分别是 、 常值矩阵; Q , R为常值对称矩阵，并且 ， 。则存在唯一最优控制 6-135 式中,P是 维正定对称常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程 6-136 将式 6-135 代入式 6-133 ，可得闭环最优系统的状态方程 6-137 解线性定常齐次方程式 6-137 ，可得最优轨线 。 性能泛函的最小值为 6-138 【例 6-7】已知被控系统及二次型指标为 求使泛函J达极小值的最优控制 。 系统能控， 存在。 解 6-80 式中, 是与时间t无关的l维拉格朗日乘子向量 维数与g相同 。若g中不包含x，则有 6-81 2 横截条件及边界条件 6-82 6-83 6-84 6-85 式中, 为待定的拉格朗日乘子向量。 3 在最优轨迹 上，与最优控制 相对 应的哈密顿函数H取绝对极小值，即 6-86 且沿最优轨迹,有 6-87 关于定理6-4的几点说明: 1 定理给出的正则方程 式 6-79 ～式 6-81 及极小值条件式 6-86 对各类最优控制问题普遍适用,且与边界条件形式或终端时刻是否自由无关。式 6-82 给出终端状态受约束时最优伴随向量终值 应满足的条件;式 6-84 给出始点边界条件;式 6-85 则给出终端状态约束条件,这3组方程正是确定正则方程的2n个积分常数和q维待定的拉格朗日乘子向量 所必需的。条件式 6-83 则用于 自由时确定最优终端时刻 。 2 极小值条件式 6-86 表明,最优控制 使哈密顿函数H取全局最小, 极小值原理因此而得名。 当满足经典变分法应用条件时,其控制方程 是式 6-87 的一种特别容易计算的情况,即用控制方程 求解控制向量无界时的泛函极值问题只是极 小值原理应用的一个特例。 3 极小值原理只给出了最优控制的必要条件,并非充分条件。 【例 6-4】 设系统的状态方程为 ， 控制约束为 ，求使目标函数 为最小 的最优控制 及最优轨线 ,并求泛函J的最小值。 解 1 构造哈密顿函数 2 由哈密顿函数及控制约束条件建立极值条件 应用极小值条件式 6-86 ,即 根据极小值原理，求H极小等效于求泛函极小。故应选取 使H极小,这只要使 为极小即可。u的 上界为1，下界为1/2 ，因此,当 时，应取 （上界）;当 时，应取 （下界） 。 3 由哈密顿函数建立正则方程 状态方程 协态方程 4 解方程 先解协态方程,得通解为 由终端横截条件,得 ，代入上式确定积分常数 ,所以 由极值条件知,当 时 切换, 为切换时间。故令 , ,则最优控制为 当 ，对应 ， 当 ，对应 ， 将最优控制 代入状态方程,即:当 时, ,有 ，通解为 ,由x 0 5确定 ，故 ;当 时， ，有 ,通解为 ,考 虑第一段的终值 为第二段初值，由此确定 ,故 。 5 求 本例所求最优解曲线如图6-3所示。 图6-3 例6-4的最优解 6.5 动态规划法 动态规划是美国数学家贝尔曼于20世纪50年代末为研究多级决策提出的，又称为贝尔曼规划。动态规划法是一种分段（步）最优化方法