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完成以下各题。题目全部使用公式进行计算，不用程序代码。 叙述在数值运算中误差的来源？误差分析的原则是什么？ 误差的来源 模型误差：对实际问题抽象，简化得到的数学模型与实际现象之间的误差 观测误差：参量观测带来的误差 截断误差：简化引起的误差 舍入误差：数据舍入成一定位数造成的误差 误差分析的原则： 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 避免两相近数相减 防止大数“吃掉”小数 注意简化计算步骤，减少运算次数 要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播 将Newton-Cotes求积公式、复化求积公式、Romberg算法、Gauss求积公式等几种数值积分法进行比较。 梯形求积公式和 Simpson求积公式虽然计算简单、使用方便 , 但是精度较差, 但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法更为有效。尤其梯形公式对被积函数是周期函数的效果更为突出。n 7 时 , Newton- C otes公式是不稳定的, 而复化梯形公式和复化 Simpson公式在保留了低阶公式的优点, 又能获得较高的精度, 因此在实际计算中应用的最为广泛。利用二分技术得到的 Romberg方法的算法简单, 易于编程实现。当节点加密提高积分近似程度时, 前面计算的结果可以为后面所用, 对减少计算量很有好处, 并有比较简单的误差估计, 能得到若干积分序列, 如果在做收敛性控制时, 同时检查各行、各列 , 对于不同性态的函数可以用其中最快的收敛序列来逼近积分。高斯型求积公式的精度较高, 特别对计算无穷积分和瑕积分方面是其它方法所不能比拟的。但因为其节点不规则, 当节点增加时, 前面计算的函数值不能为后面所用, 上机计算时还要预先存入不同 N 值的节点值和系数表, 比较麻烦。 3. 对于一阶微分方程的初值问题数值解法的基本特点是采用“步进法”，将求解区间和微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。现由已建立的递推公式，叙述改进的欧拉法的基本思想和计算步骤。 解：改进欧拉法的计算准确，是对欧拉法的改进 基本思想：用已建立的递推公式可知，该公式为隐式表达式，需要对它进行迭代求解，先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为称之为预报，预报值的精度不高，用它替代递推公式右端的，这样就建立了一个预报校正系统 预报：=+hf(xn,yn) 校正：=（n=0,1……N-1） 这就是采用一次迭代法的改进欧拉预估—校正法公式 同理，我们可以得到反复迭代的改进欧拉法预报—校正系统如下 =+hf(xn,yn) =yn+（n=0,1……N-1，m=0，1……） 改进欧拉法的局部截断误差Rn+1 =（） XnXn+1 由此可知改进欧拉法为二阶算法，而欧拉法是一阶算法，因此，它比欧拉法更精确 计算步骤：⑴：设步长为h，且有y’=f(x,y),y0=y(x0) 由预报公式=+hf(xn,yn) 将条件代入=+hf(x0,y0)可以得出 ⑵：将代入校正公式可得 (3)：重复步骤12进行迭代，可得微分方程的解 4.已知函数的一组数据。求分段线性插值函数，并计算的近似值。 解：取步长h=0.2，插值节点为xi=0+i/5（i=0，1，2…10） 因为1.5[1.4,1.6]取次区间为线性插值区间，其上的插值函数为： P(x)=f(1.6)+f(1.4) f(1.6)=0.2809 ,f(1.4)=0.3378 1.4x1.6 代入得P(1.5)=1.4045(1.5-1.4)-1.6892(1.5-1.6)=0.3094 f(1.5)=0.3077 5.函数在区间［-1,1］有近似分段二次插值多项式，在节点等距的情况下，使用多少个插值节点能够保证截断误差不超过。 解：f(x)=ex,f(x)=exe，x[-1,1],考察x0-h,x0,x0+h,及x=x0+th,1, 则 （因为t(t-1)(t+1)在取得最大值） 令得h=0.03 则插值节点数n=67.6 所以取68个节点 6. 已知,,,求一个不高于4次的插值多项式，并写出余项。 解：用Hermite插值求解 令 由 得根据方程组解得 插值多项式为 根据Hermite插值余项公式 得 7．有数据：，，用公式求最小二乘拟合方程。 解由题已知xi=1,2,3,4 yi=60,30,20,15 根据题意要求用公式y=aebx进行拟合，先对该公式进行变换，两边同时取对数得：lny=lna+bx 设s=lny A=lna t=x则 拟合数据（ti，si）的曲线认为S（t）=A+bt 将原始数据（xi, yi）根据变换改写成（ti，si） ti=1,2,3,4 si=4.0943,3.4012,2.9957,2.7081 权函数取wi=1则 ()==4 ()=()==10 ()==12+22+32+42=30 ()==13