【2018年最新整理】《矩阵与数值分析》数值实验报告.doc

大连理工大学 2013级工科硕士研究生—— 《矩阵与数值分析》数值实验报告 教学班号： 04 任课教师： 金光日 所在院系： 学 号： 姓 名： 完成日期： 2013年12月20日  一、 求数列的前N项和 - 1 - 题目一、 - 1 - 1、问题 - 1 - 2、程序 - 1 - 3、结果与分析 - 1 - 二、 解线性方程组 - 2 - 题目一、 - 2 - 1、问题 - 2 - 2、程序 - 3 - 3、结果与分析 - 5 - 题目二、 - 5 - 1、问题 - 5 - 2、程序 - 5 - 3、结果与分析 - 7 - 三、 非线性方程的迭代解法 - 8 - 题目一、 - 8 - 1、问题 - 8 - 2、程序 - 8 - 3、结果与分析 - 9 - 题目二、 - 10 - 1、问题 - 10 - 3、结果与分析 - 12 - 四、 数值积分 - 12 - 题目一、 - 12 - 1、问题 - 12 - 2、程序 - 12 - 3、结果与分析 - 13 - 五、 插值与逼近 - 13 - 题目一、 - 13 - 1、问题 - 13 - 2、程序 - 13 - 3、结果与分析 - 15 - 题目二、 - 19 - 1、问题 - 19 - 2、程序 - 19 - 3、结果与分析 - 21 - 求数列的前N项和 题目一、 1、问题 设，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序分别计算 并指出两种方法计算结果的有效位数。 2、程序（1）从小到大（从2到N） （2）从大到小（从N到2） 3 （1）分析：使用 format long，显示15位双精度。当按照从2到N方法叠加时，anan+1，会出现“大数吃小数“现象，导致有效数字位数损失，有效数字位数少于使用=1000，或N=1000000逆序开始求和。 解线性方程组 题目一、 1、问题 分别利用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组，其中常向量为维随机生成的列向量，系数矩阵具有如下形式 ， 其中为阶矩阵，为阶单位矩阵，迭代法计算停止的条件为：，给出时的不同迭代步数． 2、程序 （1）Jacobi迭代法 （2）Gauss-Seidel迭代法 3、结果与分析 迭代次数结果比较 方法 Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 n=10 520 307 n=20 2290 1266 n=30 未求出 2899 分析：对本题来讲Gauss-Seidel迭代法收敛速度更快。 题目二、 1、问题 用Gauss列主元消去法、QR方法求解如下方程组： 2、程序 （1）Gauss列主元消去法 （2）QR方法 3、结果与分析 （1）Gauss列主元消去法 （2）QR方法 分析：QR方法相对于高斯列主元消去法具有数值稳定性。 非线性方程的迭代解法 题目一、 1、问题 求方程 的根，迭代停止的条件为：。 2、程序 （1）步骤1，先建立用二分法确定根的范围的m文件f.m。 （2）步骤2，用Newton法求出方程的根。 3、结果与分析 （1）二分法确定根的范围 （2）Newton法求解方程的根。 分析： Newton法收敛速度快，但求解时，若初值选择不当，则结果偏差较大，所以，用二分法先求根的近似解，再用Newton法迭代求解方程的精确根。 题目二、 1、问题 利用Newton迭代法求多项式 的所有实零点，注意重根的问题。 2、程序 （1）建立m文件newton1.m （2）在command window输入如下命令 3、结果与分析 分析：所以该方程结果为x1=-2，x2=1（二重跟），x3=3.对于Newton法，根所在的估计区间越准确越好，相差不多的区间也可以引起所求根的剧烈波动。 数值积分 题目一、 1、问题 分别用三点Gauss型求积公式计算积分 2、程序 （1）建立Gauss型求积公式函数的m文件 建立被积函数的m文件 3、结果与分析 插值与逼近 题目一、 1、问题 给定上的函数，请做如下的插值逼近： （1）构造等距节点分别取，，的Lagrange插值多项式； （2）取Chebyshev多项式的零点： ， 作插值节点构造的插值多项式 和上述的插值多项式均要求画出曲线图形（用不同的线型或颜色表示不同的曲线）。 2、程序 （1）Lagrange插值多项式。 （2）取Chebyshev多项式的零点作插值节点构造的插值多项式。 3、结果与分析 （1）Lagrange插值多项式 1）n=5 2）n=8 3）n=10 （2）取Chebyshev多项式的零点作插值节点构造的插值多项式。 （3）总对比图 分析：利用拉格朗日插值方法计算，随着n的增大，中间点逼近的越来越好，而两侧却由于拉格朗日构造的多项式次数太大而发散。利用拉