10章常微分方程初值问题的数值解.pdf

1计算方法第十章 1 第十章 常微分方程初值问题的数值解法 10.1 引言 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分 的方程称为微分方程。在微分方程中, 如果自变量的 个数只有一个, 就称为常微分方程；自变量的个数为 两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程 中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的 阶数。如果未知函数 y 及其各阶导数 ( ), , , ny y y′ ′′ 都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。 计算方法第十章 2 在高等数学中，对于常微分方程给出了一些典 型方程求解析解的基本方法，如分离变量法、常系 数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的 解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大 多数的常微分方程是不可能给出解析解的。 譬如 22 yxy +=′ 这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来 表达它的解。 计算方法第十章 3 一阶常微分方程初值问题的一般形式是: 0 0 ( , ), (1) ( ) {( , ) , } y f x y a x b y x y D x y a x b c y d ′ = ? ? =? = ≤ ≤ ≤ ≤ 称 ( , )f x y 在区域 D 上对 y 满足 Lipschitz 条件是指: 1 2 1 2 1 2 0 . . [ , ], , [ , ] ( , ) ( , ) L s t x a b y y c d f x y f x y L y y ? ? ∈ ∈ ? ≤ ? 计算方法第十章 4 已经知道：若 ( , )f x y 在区域 D 上连续,且对 y 满足 Lipschitz 条件,则初值问题(1)在[a,b]上存在唯一的连续 可微解. 所谓微分方程的数值解法，就是寻求方程（1）的解 ( )y x 在一系列离散节点 1 2 1n nx x x x + 上的近似值 1 2 1, , , , ,n ny y y y + 相邻两个节点之间的距离 1n nh x x+= ? 称为步长。今后总 设步长为定数。这样就有 0nx x nh= + 数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离 散节点的数值解。 0 0 ( , ), (1) ( ) y f x y a x b y x y ′ = ? ? =? 计算方法第十章 5 对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值 解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着 节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给 出用已知信息 1 2 0, , , ,i i iy y y y? ? 计算 1iy + 的递推公式。建立这 类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、数值微分、 泰勒展开等离散化方法，对初值问题 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y ′ =? ? =? 中的导数 y′进行不同的离散化处理。 计算方法第十章 6 对于初值问题 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y ′ =? ? =? 的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散 化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是 计算 1iy + 时只用到 1ix + , ix 和 iy ，即前一步的值，因此有了初 值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是 龙格—库塔法。另一类是计算 1iy + 时，除用到 1ix + , ix 和 iy 以外， 还要用到 , ( 1, 2, , )i p i px y p k? ? = ，即前面 k 步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。 2计算方法第十章 7 10.2 初值问题的Euler方法 考虑常微分方程初值问题 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y ′ =? ? =? 计算方法第十章 8 在 nx 点列出方程 ( ) ( , )n n ny x f x y′ = 并令 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nn y x y x y x h y x y x h h + ? + ?′ = = 代入方程就得到 1 ( ) ( ) ( , ( ))n n n n y x y x f x y x h + ? ≈ 即 1 ( , ) 0,1, 2, ...n n n ny y hf x y n+ = + =（ ） 这样，就得到著名的 Euler 格式： 1 0 0 ( , ) ( ) n n n