第7章常微分方程初值问题的数值解法.doc

第章 常微分方程数值解法 .1 引 言 (initial condition)和边界条件(boundary condition). 只含初始条件作为定解条件的微分方程求解问题称为初值问题(initial-value problem); 例如天文学中研究星体运动,空间技术中研究物体飞行等，都需要求解常微分方程初值问题(initial-value problem for ordinary differential equations). 只含边界条件作为定解条件的微分方程求解问题称为边值问题(boundary-value problem). 除特殊情形外，微分方程一般求不出解析解，即使有的能求出解析解，其函数表示式也比较复杂，计算量比较大，而且实际问题往往只要求在某一时刻解的函数值. 为了解决这个问题，有两种方法可以逼近原方程的解。第一种方法是：将原微分方程化简为可以准确求解的微分方程，然后使用化简后的方程的解近似原方程的解；第二种方法是：将求原微分方程的解析解转化为求原方程的数值解，这是实际中最常用的方法。 本章将介绍求解常微分方程初值问题的常用的数值方法。第8章将介绍常微分方程的边值问题的常用的数值方法。 为简明起见，本章主要介绍形如 (7.1.1) 的初值问题的数值解法. 在介绍这些方法之前，需要了解常微分方程的一些相关定义和结果. 定义7.1.1 函数称为在集合上关于变量满足Lipschitz条件(Lipschitz condition)Lip条件，如果存在常数，使得 (.1.2) 对所有都成立. 常数称为Lipschitz常数(Lipschitz constant)Lip常数..1.2 如果对所有，都有 ， (.1.3) 其中，那么称集合为(convex set). 注 如果没有特别说明，本章中的集合为，显然它是凸集。 定理7.1.1 设函数在上连续. 如果在上关于变量满足Lipschitz条件，那么初值问题(.1.1)对有唯一解..1.2 设函数定义凸集上. 如果存在常数，使得 (.1.4) 对一切成立，那么在上关于变量满足Lipschitz条件，且为Lipschitz常数. 因为Lipschitz条件一般不易验证，所以往往用条件(.1.4)代替Lipschitz条件(.1.2)。 由定理.1.1立得.1.3 设函数在上连续. 如果存在常数，使得对一切成立，，那么初值问题(.1.1)对有唯一解.. 事实上，初始数据可能有误差，计算过程中的数字的舍入也会产生误差。对初值问题(7.1.1)，若初值有误差，即实际得到的初值是，再考虑到计算过程中的数字的舍入也会产生误差，则得到的初值问题变为 (7.1.5) 这种误差的扰动在计算过程中是否会增长很快，以至影响结果，这就是初值问题的适定性问题. 定义7.1.3 设初值问题(7.1.1)和(7.1.5)的均有唯一解，分别是和，且连续。若对任意，存在常数，当时，对任意，恒有，则称初值问题(7.1.1)是适定的(well-posed)。 定理7.1.6 设函数在上连续. 如果在上关于变量满足Lipschitz条件，那么初值问题(.1.1)是适定的。 注 初值问题只有是适定的才有意义，因此本章考察的所有初值问题都是适定的。 求微分方程数值解的主要问题： (1) 如何将原微分方程离散化, 并建立求其数值解的递推公式; (2) 如何求递推公式的局部截断误差, 数值解与精确解的误差估计； (3) 递推公式的稳定性与收敛性. 7.2 Euler方法及改进的Euler方法 .2.1 Euler格式与梯形格式 考虑一阶常微分方程的初值问题 (7.2.1) 设，其中为等距节点，步长. 在上对积分，得 (7.2.2) 7.2.1.1 Euler格式 用左矩形求积公式计算式(7.2.2)右端积分项，得 , 代入式(7.2.2)右端，得 . (7.2.3) 用的近似值代入式(7.2.3)右端，记所得结果为，得 (7.2.4) 并称(7.2.4)为求解初值问题(7.2.1)的Euler(Euler’s method)或Euler格式(Euler scheme)，(difference equation). 注 Euler方法是最早的解决一阶常