第10章-常微分方程初值问题的数值方法.ppt

第十章常微分方程初值问题的数值解法;考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:;要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1…xn=b

处的近似值;例:求解常微分方程初值问题;由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.;x0;2.Taylor展开法;3.数值积分法区间;隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/;梯形公式/*trapezoidformula*/;注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。;Date;四、单步法的误差分析和稳定性;局部截断误差:设是初值问题(10.1)的解,用单步法计算到第n步没有误差,即,则;2.收敛性和整体截断误差;关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理;于是有;例：考察初值问题在区间[0,0.5]上的解。

分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。;定义;例：考察显式欧拉法;例：考察隐式欧拉法;第二节高精度的单步法;Date;Runge-Kutta法的根本思想〔2〕;Date;Runge-Kutta法的根本思想〔3〕;二、二阶龙格－库塔方法;Date;Date;Date;三、三阶龙格－库塔方法;四、四阶龙格－库塔方法;Date;Date;两点说明:;五、变步长的龙格—库塔方法;R-K方法的绝对稳定区域;Date;第三节线性多步法;Date;一、线性多步公式的导出;Date;Date;Date;Date;Date;Date;Date;Date;二、常用的线性多步公式;Date;Date;利用数值积分方法求线性多步公式;Date;Date;Date;Date;Date;Date;Date;Date;三、预测—校正系统;Date;用局部截断误差进一步修正预测－校正公式;Date;Date;Date;Date;第四节一阶微分方程组的解法;Date;Date;Date;方程组的R-K法;Date;二、化高阶方程为一阶方程组;Date;Date;Date