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《工业机器人技术基础》第二章 机器人运动学;机器人运动学要解决的问题;第2章主要内容：; 2.1齐次坐标与动系位姿矩阵;二、齐次坐标;二、齐次坐标;三、坐标轴方向的描述;三、坐标轴方向的描述;例2-1 用齐次坐标写出图中矢量 u 、v、w 的方向列阵。; 2.1.2 动系的位姿表示 在机器人坐标系中，运动时相对于参考系不动的坐标系称为静坐标系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系。 动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示。 动系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的描述以及对动坐标系各坐标轴方向的描述。 一、连杆的位姿表示; 连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来表示。 令n、o、a分别为X?、Y?、Z?坐标轴的单位矢量，各单位方向矢量在静系上的分量为动系各坐标轴的方向余弦，以齐次坐标形式分别表示为：;连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示：; 例2.2 图2.5表示固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，XB?=?2，YB?=?1， ZB?=?0。在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的4???4矩阵表达式。;解 XB的方向列阵：;则动坐标系{B}的4???4矩阵表达式为 ;二.手部位姿的表示 机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示,如图所示。; 手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢量为n、o、a。于是手部的位姿可用4???4矩阵表示为：;例2-3 图表示手部抓握物体 Q ,物体为边长2个单位的正立方体,写出表达该手部位姿的矩阵式。;例2-3 图表示手部抓握物体 Q ,物体为边长2个单位的正立方体,写出表达该手部位姿的矩阵式。;三、目标物齐次矩阵表示 如下图所示，旋转前楔块Q在 (a)所示位置，其位置和姿态可用8个点描述，矩阵表达式为; 若让楔块绕Z轴旋转–90°，再沿X轴方向平移4，则楔块成为图 (b)所示的情况。此时楔块用新的8个点来描述它的位置和姿态，其矩阵表达式为; 2.2齐次变换 连杆的运动是由转动和平移组成的。为了能用同一矩阵表示转动和平移,有必要引入齐次坐标变换矩阵。;也可简写为 ;同理，可写出绕X轴转动的旋转算子和绕Y轴转动的旋转算子： ;二、点在空间直角坐标系中绕过原点任意轴的一般旋转变换 图所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转?角的情况。kX、kY、kZ分别为k矢量在固定参考系坐标轴X、Y、Z上的三个分量，且;反之，若给出某个旋转算子; 式中：当?取0°到180°之间的值时，式中的符号取“+”号。 旋转算子公式不仅使用于点的旋转变换，而且也适用于矢量、坐标系、物体的旋转变换计算。;三、算子左、右乘规则 若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;例2.5 图2.12所示单臂操作手的手腕也具有一个自由度。已知手部起始位姿矩阵为;解 手臂绕定轴转动是相对固定坐标系作旋转变换，故有 ;2.2.2 平移的齐次变换 一、点在空间直角坐标系中的平移变换 如图2.13所示，空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它平移至A?点后，坐标为(XA?，YA?，ZA?)。其中;2.2.2 平移的齐次变换 一、点在空间直角坐标系中的平移变换; 二、坐标系与物体的平移变换 点的平移的齐次变换公式同样适用于坐标系、物体等的变换，算子左、右乘规则同样适于平移的齐次变换。 例2.6 动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作(-1，2，2)平移后到{A?}；动坐标系{A}相对于自身坐标系的X、Y、Z轴分别作(-1，2，2)平移后到{A?}；物体Q相对于固定坐标系作(2，6，0)平移后到Q?。已知： ;解 动坐标系{A}的两个齐次坐标变换平移算子均为;{A?}坐标系是动系{A}沿自身坐标系作平移变换得来的，故算子右乘，{A?}的矩阵表达式为 ;物体Q的齐次坐标变换平移算子为:; 2.2.3复合变换 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中,称为复合变换。 ;E=Trans(4,-3,7)Rot(y,90°)Rot(z,90°) U; 课堂练习： 如图所示的楔块Q，在图所示位置下描述它的齐次矩阵为 ;解 楔块从图(a)至图(b)的所有变换都是相对于固定