1.8 函数的连续性与间断点解析.ppt

首页 上页 下页 返回 结束 高等数学教案 华南理工大学广州汽车学院 1.8函数的连续性与间断点 连续函数的运算与初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 一、连续函数的概念 定义 设函数 在点 x0 的某个邻域内有定义， 如果 则称 f (x) 在点 x0 处连续，点 x0称为f (x) 的连续点 否则称 f (x) 在点 x0 处不连续，点 x0称为f (x) 的间断点 不存在 f (x)在 x ? 1处不连续。 即 x ? 1是 f (x)的间断点。 解： 要使函数在 x ? 1 点处的连续， 必须 解得 解： 由连续函数定义可得出以下结论： 极限存在 二、左连续与右连续 定理 连续 左连续并且右连续 三、函数的间断点 1.跳跃间断点 例 解 间断点的分类 1.跳跃间断点 间断点的分类 2.可去间断点 或 解 例 如例子中, 例 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 1.跳跃间断点 间断点的分类 2.可去间断点 或 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 间断点的分类 第二类间断点 特点 例 解 1.无穷间断点 间断点的分类 2.振荡间断点 第二类间断点 特点 例 解 1.跳跃间断点 间断点的分类 2.可去间断点 或 特点 小结： 第一类间断点 1.无穷间断点 间断点的分类 2.振荡间断点 第二类间断点 特点 小结： 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 第二类间断点 o y x o y x o y x o y x 无穷间断点 由连续的定义及极限的运算和复合函数的 极限运算法则，容易得连续函数以下性质： 三、连续函数运算性质 对于初等函数,有下列重要的结论： 初等函数在其定义区间内都是连续的。 由此可得： 解： 解： 四　闭区间上连续函数的性质 定理(最值定理)　若函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值。 定理(介值定理)　若函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，m 和 M 分别为 f (x) 在区间 [a,b] 上的最小值和最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 c ，至少存在一点 ??(a,b)，使得 f (?) ? c 例 证明 证： 在区间 内至少存在一根。 显然 在区间 连续 至少存在一点 使得 即 在区间 内至少存在一根。 作 业 P43 24 25，26 首页 上页 下页 返回 结束 高等数学教案 华南理工大学广州汽车学院