应用多元统计分析北大版第三章1.ppt

应用多元统计分析 第三章 多元正态总体 参数的假设检验(一) 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 在一元统计中,讨论均值的假设检验问 题与求均值的置信区间,虽提法上不同,实 质上是等价的. 下面介绍单个多元正态总体均值向量 置信域的有关概念,它可以作为一元统计 中置信区间的推广. 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 1. 置信域 假设X(t)(t=1,2,…,n)来自p元正态总体 Np(μ,Σ)(Σ未知)，由前面的讨论可知  第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 任给置信度1-α,查F分布临界值表得Fα 满足 P{F≤Fα}=1-α, (3.2.1) 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 当检验假设H0:μ=μ0时，若μ0落入 该置信域内，即 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 例3.2.2 沿用例3.2.1的数据,试求μ的置信度为 95%的置信椭球. 解 由观测数据计算样本均值X和样本离差阵 A及样本协差阵S: 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 S的特征值和单位正交特征向量为 λ1=200.4625, l1=(0.05084,0.9983,-0.02907)′, λ2=4.5316, l2=(-0.5737,0.05302,0.8173)′, λ3=1.3014, l3=(0.8175,-0.02488,0.5754)′. 记 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 并令Yi= (X-μ)′li (i=1,2,3),则μ的置信度为 95%的置信椭球为 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 2. 联立置信区间(不要求) 以上介绍如何构造均值向量μ的置信域: 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 第三章 多元正态总体参数的假设检验§3.2 --置信域与联立置信区间 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验-- 似然比统计量 按传统计的检验方法,λα是由显著性性水平α确定的临界值,它满足在H0成立时有：  P{λ(X (1),…,X (n))＜λα}=α. 为了得到λα,必须研究似然比统计量λ的抽样分布.在一些特殊的情况下,λ的精确分布可以得到;但很多情况得不到λ的精确分布. 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验-- 似然比统计量 当样本量很大且满足一定条件时, -2lnλ的抽样分布与χ2分布十分接近.下面不加证明地给出一条很有用的结论. 近似服从自由度为f 的χ2分布,其中 f =Θ的维数-Θ0的维数. 定理3.2.1 当样本容量n很大时， 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验-- 似然比统计量 我们来导出当Σ未知时检验均值向量μ=μ0 的似然比统计量，并讨论它的分布. 在第二章§2.5中已经导出：以上比式的分母当μ=X,Σ=A/n时达最大值，且最大值为 设样本的似然函数为L(μ,Σ).检验均值向量μ=μ0 的似然比统计量为 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验-- 似然比统计量 比式的分子当 A0 时达最大值，且最大值为 故 以下来推导似然比统计量λ与T2的关系： 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验-- 似然比统计量 利用分块矩阵行列式的性质(见附录§4推论4.1)有: 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验-- 似然比统计量 所以 即 第三章 多元正态总体参数的假设检验 §3.2 单总体均值向量的检验-- 似然比统计量 其中 否定域: 其中 或者 则均值向量μ的置信度为1-α的置信域为 该置信域是一个中心在X上的椭球. 则在显著性水平α下，H0相容；若μ0没有落入该置信域内，则否定H0. 可见在多元统计中，讨论均值向量的假设