应用多元统计分析北大版第二章.ppt

应用多元统计分析 第二章 多元正态分布及 参数的估计 第二章 多元正态分布及参数的估计§2.2 多元正态分布的性质1 第二章 多元正态分布及参数的估计§2.3 条件分布和独立性--条件分布 第二章 多元正态分布及参数的估计§2.3 条件分布和独立性--条件分布 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.4 随机矩阵的正态分布--Kronecker积 子块a11B为m×q 的子矩阵，n×p个子块组成的矩阵是一个nm×pq的大矩阵.在多元统计分析中Kronecker积(简称?积或直积)是一个有用的工具.它的一些常用的性质在以后将会用到。 其中子块 设X(i)=(Xi1,…, Xip )′(i＝1,…,n) 为来自p维正态总体Np(μ,Σ)的随机样本(独立同分布),记随机矩阵X＝(Xij)n×p ，利用拉直运算及直积的定义和性质,可知 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.4 随机矩阵的正态分布 事实上，np维长向量Vec(X′)的联合密度函数为 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.4 随机矩阵的正态分布 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.4 随机矩阵的正态分布 由以上np维长向量Vec(X)的联合密度函数可看出它是正态随机向量,且: 其中M为: 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.4 随机矩阵的正态分布 故 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.4 随机矩阵的正态分布 当随机阵X按行拉直后，如果有 则称随机阵X服从矩阵正态分布，记作 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.4 随机矩阵的正态分布 也就是： 其中 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.5 多元正态分布的参数估计 考虑p维正态总体X～Np(μ,Σ), 设X(i)=(Xi1,…, Xip )′(i＝1,…,n)为p维总体X的简单随机样本，资料阵 是一个随机矩阵. 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.5 --- 多元正态样本的数字特征 (1) 样本均值向量X 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.5 --- 多元正态样本的数字特征 中心化数据阵: 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--独立性例子 (6) Y的密度函数为 X3的密度函数为 故二维随机向量Z的联合密度函数为 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 考虑二维正态的条件分布(即p=2,r=1),由条件密度的定义知，当X2 给定时,X1 的条件密度为 而 所以 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 推广到p维情况，利用Σ-1的分块求逆公式： 其中 类似 p=2 的方法，可证明: 且 为r维正态分布. 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 定理2.3.2 设X为p维向量, X(1)为r维向量,且 则X(2)给定时X(1)的条件分布为 (X(1)|X(2))～Nr(μ1 ·2,Σ11·2), 其中 (Σ＞0) 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 证明 ① 作非奇异线性变换，令 因为 D(Z)=BΣB= 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 故有 这表明 Z(1)与Z(2)相互独立.而且可得出 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 ② Z的联合密度为 这里因Z(2)=X(2),故有 g2(z(2) )=f2(z(2) ). 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 ③ 因为Z＝BX，利用积分变换公式，可以用g(z)来得到 f(x),即 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 所以X(2)给定时X(1)的条件密度函数 为 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.3 条件分布和独立性--条件分布 所以X(2)给定时X(1)的条件分布为 (X(1)|X(2))～Nr(μ1 ·2,Σ11·2), 其