经济数学——概率论与数理统计3.1二维随机变量及其分布.pptx

经济数学——概率论与数理统计3.1二维随机变量及其分布汇报人：AA2024-01-192023AAREPORTING

二维随机变量基本概念二维离散型随机变量二维连续型随机变量二维随机变量的数字特征二维随机变量的独立性二维随机变量函数的分布目录CATALOGUE2023

PART01二维随机变量基本概念2023REPORTING

定义与性质定义设E为一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)S是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机变量或二维随机向量。性质二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。

设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：F(x,y)=P{(X=x)∩(Y=y)}=P(X=x,Y=y)，称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数。定义1.F(x,y)对x,y是不减函数。2.0=F(x,y)=1，且对于任意实数x1x2，y1y2来说，F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)=0。3.F(-∞,y)=0，F(x,-∞)=0，F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1。性质联合分布函数

定义二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为FX(x)，FY(y)，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数。边缘分布函数可以由联合分布函数确定，FX(x)=P{X=x}=P{X=x,Y+∞}=F(x,+∞)，FY(y)=P{Y=y}=P{X+∞,Y=y}=F(+∞,y)。性质1.FX(x)，FY(y)分别是x和y的不减函数。2.0=FX(x)=1，0=FY(y)=1，且FX(-∞)=0，FX(+∞)=1；FY(-∞)=0，FY(+∞)=1。边缘分布函数

PART02二维离散型随机变量2023REPORTING

定义设$X$和$Y$是两个离散型随机变量，称$P{X=x_i,Y=y_j}$为$X$和$Y$的联合概率分布。性质非负性、规范性、可加性。表示方法列表法、图示法。联合概率分布

定义01设$X$和$Y$是两个离散型随机变量，$X$的边缘概率分布为$P{X=x_i}=sum_{j=1}^{infty}P{X=x_i,Y=y_j}$，同理可得$Y$的边缘概率分布。性质02非负性、规范性。与联合概率分布的关系03边缘概率分布可以由联合概率分布求得，但联合概率分布不能由边缘概率分布唯一确定。边缘概率分布

定义设$X$和$Y$是两个离散型随机变量，在事件${Y=y_j}$发生的条件下，事件${X=x_i}$发生的条件概率为$P{X=x_i|Y=y_j}=frac{P{X=x_i,Y=y_j}}{P{Y=y_j}}$。性质非负性、规范性、可加性。与联合概率分布和边缘概率分布的关系条件概率分布可以由联合概率分布和边缘概率分布求得，但联合概率分布和边缘概率分布不能由条件概率分布唯一确定。条件概率分布

PART03二维连续型随机变量2023REPORTING

设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意x,y有F(x,y)=∫(-∞-x)∫(-∞-y)f(u,v)dudv，则称(X,Y)为连续型随机变量，函数f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数。定义联合概率密度函数具有非负性和规范性，即f(x,y)≥0，且∫(-∞-+∞)∫(-∞-+∞)f(x,y)dxdy=1。性质联合概率密度函数

定义二维连续型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数分别为fX(x)和fY(y)，定义为fX(x)=∫(-∞-+∞)f(x,y)dy和fY(y)=∫(-∞-+∞)f(x,y)dx。性质边缘概率密度函数具有非负性和规范性，即fX(x)≥0，fY(y)≥0，且∫(-∞-+∞)fX(x)dx=1，∫(-∞-+∞)fY(y)dy=1。边缘概率密度函数

条件概率密度函数设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)，且对于固定的x，fY|X(y|x)0，则称fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)为在X=x条件下Y的条件概率密度函数。同理，在Y=y条件下X的条件概率密度函数为fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)。定义条件概率密度函数具有非负性和规范性，即fY|X(y|x)≥0，fX|Y(x|y)≥0，且∫(-∞-+∞)fY|X(y|x)dy=1，∫(-∞-+∞)fX|Y(x|y)dx=1。性质

PART04二维随机变量的数字特征2023REPORTING

VS描述二维随机变量取值的“中心”位置或“平均”水平。对于离散型二维随机变