不定积分计算方法的总结论文.doc

PAGE l 不定积分计算方法的总结 数学与信息科学学院 数学与应用数学 摘要：介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法以及一些特殊不定积分的求解方法：直接积分法（公式法），第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，以及一些特殊技巧的方法，并结合实际例题加以讨论以便于解不定积分题目是能快捷又方便的寻找出最佳的解体方法。 关键词：不定积分，直接法，第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法. 1 引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 （其中）；等，但这里将介绍对原函数不易直接求得的定积分应用留数定理进行计算，其要点是将他化归为复变函数的周线积分，这是一个有效的方法，这里我就不讨论了。 同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 2 不定积分的定义 定义：设是定义在某一区间I上的函数，若存在原函数，使得在这个区间是上每一点有 = 或, 则称为函数的一个原函数或为可积函数，并将的全体原函数记为 ， 称它是函数在区间I内的不定积分，其中为积分符号称为被积函数，称为积分变量。， 若为的原函数，则： =+C(C为积分常数)。 在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说： 是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 性质： 1.微分运算与积分运算时互逆的。 注：积分和微分连在一起运算时： 完全抵消。 抵消后差一常数。 2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即： 3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即： 。 在这里，给出两个重要定理： (1)导数为0的函数是常函数。 (2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。 以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。 下面将介绍各种积分形式的求解方法。 3 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法) 基本积分公式如下： （1）. (2) . (3) (-1, 0) (4) (5) (6) (7) (11) (14)  下面我将举一些例子加以说明： 例3.1：计算 解 原式 = = = 需要说明的是：，，为任意的常数，因此可用一个常数c来表示。以后对于一个不定积分，只要在积得结果后面所得的式子中写上一个积分常数即可，后面就不一一说明了。 例3.2 计算 解 原式= = = 注：这里有一个技巧的方法：将多项式拆分成多个单相式，然后利用基本积分公式进行计算。 直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。 4 第一换元积分法 利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如 就无法用基本公式法求出，必须先将它变形，然后再利用基本公式法求出。 如果不定积分用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为 令，并注意到，则可将关于变量的积分转化为关于的积分，于是有 = 这就是第一换元积分法。 下面具体举例加以讨论 例4.1 计算 解