不定积分方法总结.docx

不定积分方法总结 　　?　　不定积分解题方法总结　　摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法　　不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。　　1.利用基本公式。2.第一类换元法。　　设f(μ)具有原函数F(μ)。则　　?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?F[?(x)]?C　　其中?(x)可微。　　用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：?　　ln(x?1)?lnx　　dx　　x(x?1)　　111　　???　　x?1xx(x?1)　　【解】(ln(x?1)?lnx)?　　ln(x?1)?lnx12　　dx??(ln(x?1)?lnx)d(ln(x?1)?lnx)??(ln(x?1)?lnx)?C?x(x?1)?2　　例2：?　　1?lnxdx　　(xlnx)2　　【解】(xlnx)?1?lnx　　1?lnxdxlnx1　　dx????x(x?1)2?(xlnx)2xlnx?C　　3.第二类换元法：　　设x??(t)是单调、可导的函数，并且?(t)?0.又设f[?(t)]?(t)具有原函数，则有换元公式　　?f(x)dx??f[?(t)]?(t)dt　　第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：　　(1)a2?x2：x?asint；x?acost　　(2)x2?a2：x?atant；x?acott；x?asht(3)x2?a2：x?asect；x?acsct；x?acht　　(4)ax?bax?b?t　　(5)ax?bax?b　　?tcx?dcx?d　　1　　(6)当被积函数含有x?ax2?bx?c，有时倒代换x?也奏效。　　t　　当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。　　?sinxdxt?x2?tsintdt??2(tcost??costdt)　　??2tcost?2sint?C??2cosx?2sinx?C　　但当根号内出现高次幂时可能保留根号，　　?x　　???????　　dxx12?1　　1　　x?　　1　　t　　?t?　　11　　t　　t6　　?t1　　12　　12　　?1　　?1?????t2??dt??　　t　　dt???dt6　　t5　　?t　　12　　dt　　1　　6　　?　　?t12　　1　　arcsinx?6?c6　　当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。　　?sinxdxt?x2?tsintdt??2(tcost??costdt)　　??2tcost?2sint?C??2cosx?2sinx?C　　但当根号内出现高次幂时可能保留根号，　　?x　　???????　　dxx12?1　　1　　x?　　1　　t　　?t?　　11　　t　　t6　　?t1　　12　　12　　?1　　?1?????t2??dt??　　t　　dt???dt6　　t5　　?t　　12　　dt　　1　　6　　?　　?t12　　1　　arcsinx?6?c6　　4.分部积分法.　　公式：??d???????d?　　分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取?、?时，通常基于以下两点考虑：降低多项式部分的系数简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：?　　x3?arccosx?x　　2　　【解】观察被积函数，选取变换t?arccosx,则　　?　　x3arccosx?x2　　cos3t??t(?sint)dt???tcos3tdt?　　sint　　132　　t(sint?1)dsint?td(??3sint?sint)?11　　tsin3?tsint??(sin3t?sint)dt?3311　　tsin3?tsint??(sin2t?1)dcost?　　33121　　tsin3?tsint?cost?cos3t?C?　　?x3?x?(x2?2)?x2arccosx?C933　　例4：?arcsin2xdx【解】　　22　　arcsinxdx?xsinx?