一元微积分A：中值定理.ppt

一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理(了解) 第一节 微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 例如, 几何解释: A B 证 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 例如, 又例如, 例1 证: 由零点定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 例2. 不用求出函数 的导数，判别方程 根的个数。 例3.证明方程 至少 有一个小于1的正根。 二、拉格朗日中值定理 (Lagrange’s Mean-value Theorem) 几何解释: 几何解释: 证 分析: 弦AB方程为 证明：作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 推论 例4 证 例5. 证明： 例6. 证明：当 时， 例7. 证明：当 时， 例4 证 由上式得 三、柯西(Cauchy)中值定理 几何解释: 证 作辅助函数 例5 证 分析: 结论可变形为 )]. 0 ( ) 1 ( [ 2 ) ( ), 1 , 0 ( : , ) 1 , 0 ( , ] 1 , 0 [ ) ( f f f x f - = ￠ ? x x x 使 至少存在一点 证明 内可导 在 上连续 在 设函数 四、小结 思考题 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. 思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可. 思考题解答 不满足在闭区间上连续的条件； 且 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题. 练 习 题 练习题答案 二、三、四、五、六、七、（略） 罗尔（Rolle）定理 如果函数在闭区间 上连续,在开区间内可导,且在区间端点的函数值相等，即,那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零， 即 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)(1)在闭区间 上连续,(2)在开区间内可导,那末在内至少有一点，使等式 成立. 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式 成立. 填空题： 函数在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______. 设，有____________个根，它们分别在区间_____________上. 罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是_________________. 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_______与函数在这区间内某点处的_______之间的关系. 如果函数在区间 上的导数__________，那么在区间 上是一个常数. 二、试证明对函数应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式 . 四、设， . 证明下列不等式： 1．； 2． ， . 六、设函数在的某邻域内且有 阶导数， 且试用柯西中值定理 证明：，（）. 七、设在[]内上连续，在()内可导，若 ,则在()内存在一，使 ] . 一、1．； 2．3,(1,2),(2,3),(3,4)； 3．前者是后者的特殊情形,加即可； 4．增量,导数； 5．恒为零.