数值分析教学课件（华南理工大学）5.1 插值问题的提出.ppt

华长生制作 计算 f (x)可通过计算Pn(x)来近似代替。如下图所示。 * * 第五章 函数近似计算的插值法 Interpolation method 插值问题的提出 problem 插值：已知[a, b]上的函数y= f (x)在n+1个互异点处的函数值: fn ?????? f2 f1 f0 f(x) xn ?????? x2 x1 x0 x 求简单函数Pn(x)，使得 一、插值问题的数学提法 Problem: If x0 , x1, x2 ??????xn are n+1 distinct numbers and f is a function whose values are given respectively by f0 , f1 , f2 ??????fn at these numbers, how to choose a single function Pn(x) satisfying the form (*). y x x0 x1 f0 f1 x2 f2 xi fi xi+1 fi+1 xn-1 fn-1 xn fn Pn(x) f(x) 这就是插值问题,(*)式为插值条件, 其插值函数的图象如图 整体误差的大小反映了插值函数的好坏. 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式或有理函数. 本章讨论的就是(代数)多项式插值. 多项式插值 polynomial interpolation Weierstrass定理： 对于在[a,b]上的连续函数f以及 ,总存在多项式P(x)满足 Weierstrass Theorem: Suppose that f is defined and Continuous on [a,b]. For each , there exists a polynomial P(x), with the Property that for all x in [a,b]. 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x); 即插值多项式的常用构造方法有哪些？ 3. 用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计； 对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题： 4. 当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 f(x)。 Question : Existence and Uniqueness of interpolation polynomials? How to construct the interpolation polynomials? Error analysis? Convergence of interpolation function? 二、插值多项式的存在唯一性 Existence and Uniqueness of interpolation polynomials? 且满足 * * * *