华南理工大学数值分析期末复习总结资料.ppt

* 举例 二阶收敛 关于二次收敛性，事实上 第 八 章 矩阵特征值计算 * * 特征值估计与扰动 定义1 设 n 阶矩阵 A=(aij)，令 (1) ； (2) 集合 称为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n个格什戈林(Gerschgorin)圆盘. * 定理5 (Gerschgorin圆盘定理) 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值. (1) 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中 (2) 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个特征值. 或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. * 例1 估计矩阵A的特征值范围，其中 解 矩阵A的3个圆盘为 由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一个特征值?1(为实特征值)，即 A的其它两个特征值?2, ?3包含在D2, D3的并集中. * 现在取对角阵 做相似变换 矩阵A1的3个圆盘为 * 第 九 章 常微分方程初值问题数值解法 * 初值问题 Euler法 局部截断误差： 欧拉法具有 1 阶精度 隐式 后退的Euler法 显式 局部截断误差： 1阶精度 * 梯形方法 隐式单步法，用迭代法求解. 迭代公式 * 梯形法的局部误差估计 梯形方法是2阶的，其局部误差主项为 * 改进的欧拉公式 校正一次 迭代一次得 ，这个结果称 校正值. Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 ) , ( 1 n n n n y x f h y y + = + Step 2: 再将 代入隐式梯形公式 1 + n y * ?预测-校正系统： 预测 校正 ?平均化形式 * 例2 用改进的欧拉方法求解初值问题（2.2）. （2.2） 解 改进的欧拉公式为 仍取 ，计算 结果见表9-2. 改进欧拉法明显改善了精度. * 第六章线性方程组的迭代解法 计算方法 * 矩阵分裂迭代法 矩阵分裂迭代法基本思想 Ax = b k = 0, 1, 2, … 给定一个初始向量 x(0)，可得 迭代格式 其中 B = M-1N 称为迭代矩阵 A = M - N Mx = Nx + b M 非奇异 A 的一个 矩阵分裂 * 收敛性分析 定理：对任意初始向量 x(0)，上述迭代格式收敛的充要条件是 证明：板书 定理：若存在算子范数 || · ||，使得 ||B|| 1，对任意的初始向量 x(0)，上述迭代格式收敛。 例：考虑迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛性，其中 基本收敛定理 充分条件 * Jacobi 迭代 考虑线性方程组 Ax = b 其中 A=(aij)n?n 非奇异，且对角线元素全不为 0。 将 A 分裂成 A = D - L- U， 其中 * Jacobi 迭代 k = 0, 1, 2, … 令 M = D，N = L + U，可得 雅可比 (Jacobi) 迭代方法 Jacobi 迭代 迭代矩阵记为： 分量形式： i = 1, 2, … , n， k = 0, 1, 2, … * Gauss-Seidel 迭代 在计算 时，如果用 代替 ，则可能会得到更好的收敛效果。 * Gauss-Seidel 迭代 写成矩阵形式: 此迭代方法称为 高斯-塞德尔 (Gauss-Seidel) 迭代法 k = 0, 1, 2, … 可得 迭代矩阵记为： * SOR 迭代 为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个 松弛因子?，于是可得迭代格式 在 G-S 迭代中 * SOR 迭代 写成矩阵形式: 可得 —— SOR (Successive Over-Relaxation) 迭代方法 迭代矩阵记为： SOR 的优点：通过选取合适的 ?，可获得更快的收敛速度 SOR 的缺点：最优参数 ? 的选取比较困难 * Jacobi 迭代收敛的充要条件 ?(J)1 G-S 迭代收敛的充要条件 ?(G)1 SOR 迭代收敛的充要条件 ?(L?)1 收敛性 收敛性定理 J