数值分析教学课件（华南理工大学）2.6误差分析1.ppt

华长生制作 向量范数的性质  (The properties of vector norm ) 连续性: Continuous (That is the norm is continuous function ) 等价性:Equivalence 按范数收敛: 矩阵范数的性质 等价性: 按范数收敛: 条件数与病态方程组 --------(22) 更一般地，成立定理 2.6.1（P47）（不证）。 定义7. --------(23) * * 范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广。 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度， 高维向量的长度能否定义呢? 也称为向量空间 误差分析 （error analysis） 欧氏空间 （或 ）. . （或 ）. 将实数 称为向量 的数量积. 非负实数  X的长度 或 称为向量x的欧氏范数 . 关于范数，成立如下定理. 定理 6. 三角不等式 5. (Cauchy-Schwarz不等式) Definition 1. A vector norm on R^n is function, ||.||, with the following properties: 向量和矩阵的范数 (Vector norm and matrix norm) --------(1) --------(2) --------(3) The vector norms in R^n: --------(1) --------(2) --------(3) The vector norms in R^n: --------(4) and is special case of ? Example 1.求下列向量的各种常用范数 解: 定义2. (Definition 2.) A matrix norm should have following properties: (4)式称为相容性. Example 2: 不难验证其满足定义2的4个条件 称为Frobenius范数,简称F-范数 tr为矩阵的迹（对角元之和） --------(5) --------(6) 类似向量的 2-范数 Let Frobenius norm Furthermore, 定义3. --------(7) 简称为从属范数或算子范数 Example 3: Suppose that and is vector norm Let Then is matrix norm. Inducted norm 由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论，所以希望引进一种矩阵的范数，它和向量范数相联系而且和向量范数相容. Corollary: for inducted norm, we have --------(8) 由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的 --------(9) 定义4. --------(11) --------(12) 根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数: --------(10) 例3. 解: 类似于向量的2-范数 不过 例4. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 不是从属范数 较少使用 使用最广泛 性质较好 定义5. --------(13) 显然 定理： (特征值上界) 设 则 即 A 的谱半径不超过 A 的任何一种算子范数. 而 特别地，当A对称，则 定理：设 , 则 的充要条件是B的谱半径 证明 P45 引理： --------(14) 证明： （反证法） 若 det(I+B)=0, 则 （I+B)x=0有非 零解，即存在 满足 ，所以 直接法中的误差分析 与已知矛盾！ 考虑线性方程组 其中设 A 为非奇异矩阵,x为方程组的精确解. 由于A(或 )元素是测量得到的，或者是计算的结果. 在第一种情况A(或 )常带有某些观测误差.在后一种情况A(或 )又包含有舍入误差. 下面研究数据A(或 )的微小误差对解的影响.即估计 x-y,其中y是 的解。 例： 上述方程组尽管只是右端项有微小扰动，但解大不相同：一个是