2025年九年级中考数学二轮复习热点专题突破课件：专题4角平分线的相关问题.pptx

专题4角平分线的相关问题

知识储备

1.角平分线和平行线：有角平分线时，常常过角平分线上的一点作角一边的平行线，则会出现等腰三角形，为进一步证明或求解提供更多的条件.2.角平分线与勾股定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，出现垂直，经常利用勾股定理解决三边关系问题.

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4.角平分线分线段成比例：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别垂直AB，AC于点E，F，则DE＝DF.?

5.核心素养：角平分线作为图形最基础的概念，在选择题、填空题和几何证明题中屡见不鲜，同学们除了掌握角平分线的概念和性质定理以外，还需要对常见的角平分线的模型进行了解，在平行线、三角形、四边形、圆等知识背景的基础上，结合角平分线得到一些常见的结论并对此进行分类整理.

典例精讲

(2024·江西)追本溯源题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.方法应用类型1角平分线和平行线例1解：△BDE是等腰三角形.理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD.∴∠BDE＝∠ABD.∴EB＝ED.∴△BDE是等腰三角形.

(2)如图2，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.①图中一定是等腰三角形的有()A.3个 B.4个C.5个 D.6个B

解：①B[在?ABCD中，AE∥BC，AB∥CD.同(1)∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，∴AB＝AE.∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF.∵AE∥BC，AB∥CD，∴∠BGA＝∠EAF，∠BAF＝∠F.∴∠BGA＝∠BAF，∠EAF＝∠F.∵∠BGA＝∠CGF，∴∠CGF＝∠F.∴AB＝BG，DA＝DF，CG＝CF，即△ABE，△ABG，△ADF，△CGF都是等腰三角形，共有4个.]

解：②∵在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5.由①得DA＝DF，∴CF＝DF－CD＝5－3＝2.②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长.

?变式如图，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为()A.2 B.4C.6 D.8B

如图1是某施工现场图，据此构造出了如图2所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30m.则点C到AB的距离为_________m，线段AD的长度为_________m.?例2类型2角平分线与勾股定理的综合15?

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?例3类型3角平分线分线段成比例B

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?例4类型4双角平分线模型证明：设∠ABO＝∠OBC＝x，∠ACO＝∠BCO＝y.由△ABC的内角和为180°，得∠A＋2x＋2y＝180°.①由△BOC的内角和为180°，得

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?证明：如图，∵BD为△ABC的内角平分线，CD为△ABC的外角平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.由三角形的外角性质，得?

?变式如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2……∠A2024BC与∠A2024CD的平分线相交于点A2025，得∠A2025，则∠A2025＝?_______.(用含α的代数式表示)??

精题演练

1.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∠D＝40°，那么∠A等于()A.50° B.60°C.70° D.80°D

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4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝_________.?5

5.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD边的中点，∠ABE的平分线交AD于点F，连接EF，则tan∠DEF的值为_________.??

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应用拓展：(2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点.连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点E处.①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长.(用含m，α的式子表示)

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