第三章3-3-向量组的秩.ppt

所以R{α1,α2, α3,α4,}=R(A)=R(B)=3。由B容易看出， α1,α2, α4为向量组的一个极大线性无关组。 例3.3.6 设A是m×k矩阵,B是k×s矩阵，则 证 设A的列向量组为A1,A2, …,Ak，矩阵B=(bij)k×s，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2,…,Cs ,则 即C的列向量组可由A的列向量组线性表出，由定理3.3.3及3.3.4知, 又 故 作业 Page 87 习题3.3：3. ； 4.; 5.； 7.； 10.. 线性代数 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30 答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@buaa.edu.cn 第三章 向量组的线性相关性 §3.1 向量的概念和运算 §3.2 向量组的线性相关性 §3.3 向量组的秩 §3.4 向量空间 §3.3 向量组的秩 3.3.1 向量组的秩与极大线性无关组 3.3.2 向量组的等价 3.3.1 向量组的秩与极大线性无关组 定义3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm的 满足条件 部分组 线性无关; (1) 线性表出, (2) 的任一向量均可由 的一个极大线性无关组 是向量组 则称 一个非零向量组必有极大线性无关组 一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是向量组本身。 例3.3.1 求向量组 α1=(1,-1,0)，α2=(0,1,2)，α3=(2,-3,-2)的极大线性无关组。 解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的极大线性无关组。 一个线性相关的非零向量组，一定存在极大线性无关组 线性相关的非零向量组的极大线性无关组不是唯一的。 定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且mr，那么向量组线性相关。 证 设 由条件 以这两个向量组的向量为行向量(m+r) ×n矩阵C, 然后对矩阵C作做初等行变换，得到 于是R(C)=R(C1)。 设A=(α1,α2, …,αm)T，则R(A)≤R(C) =R(C1)≤rm，由定理3.2.3, 向量组α1,α2, …,αm线性相关。 证毕。 推论 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且α1,α2, …,αm线性无关，那么m≤r。 定理 3.3.2 一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。 证 设向量组α1,α2, …,αm的两个极大线性无关组分别为 要证s=r。 由于 为极大线性无关组， 可由其线性表出，又 所以 线性无关，由定理 3.3.2 的推论,r≤s； 同理可证,s≤r,于是,s=r。 定义.3.3.2 向量组α1,α2, …,αm的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为 R{α1,α2, …,αm} 全由零向量组成的向量组的秩规定为零。 线性无关的向量组的秩等于向量组中所含向量的个数； 若向量组的秩小于向量组中所含向量的个数，则向量组必然线性相关。 例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组。 证 设 是该向量组中 任意r个线性无关的向量，只需证明 α1， α2, …,αm中任意一向量,可由 线性表出即可。 事实上，若存在该向量组中某一个向量 (1≤i0≤m)使 线性无关,那么R{α1,α2, …,αm}≥r+1此, 为向量组 α1,α2, …,αm的一 向量组 线性相关。由定理 , 3.2.2, αi可由 线性表出，即 个极大线性无关组。 与题设矛盾。因此,对于任αi,(1≤i≤m) 对于向量组α1,α2, …,αm ，求它的极大线性无关组的“扩充”法： 首先取向量α1,如果α1≠0，可保留α1； 其次取向量α2，如果 α1 与α2线性无关，删去α2，否则保留α2； 接着再取向量α3，若α1,α2,α3线性相关，删去α3若它们线性无关，则保留下来； 接下去取向量α4，…，如此这般一直进行下去，直到把向量组中所有向量考察一遍