数学剖析第3章节极限与函数的连续性01.ppt

第三章 极限与函数的连续性 §2 数列的极限 定理3.6（极限不等式） 定理3.7（唯一性） 定理3.8. 夹迫性 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 故 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例12 设 其中 求证 证明 由于 而 由定理3.8即得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例13 证明 证法1 当 时， 令 其中 这时 因此 故 已知 由定理3.8得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 时 ，由平均值不等式得 而由定理3.8得 当 证法2 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （单调有界原理－单调有界数列存在极限） (要证有极限，到目前只能用定义才可能可行， ，然后再证这个数就是 的极限. ) 单调上升有上界的数列必有极限。 单调下降有下界的数列必有极限 证明：设数列 单调上升有上界 一个合适的数 如何确定? 想到实数基本定理。 定理3.9 故要先确定 需要构造实数得一个分划：A|B Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一 割圆术： 刘徽（公元 3 世纪，魏晋时代，九章算术）利用圆内接正多边形来计算圆的面积，把正n边形的面积记为 Sn 当 n 越来越大时， Sn 越接近于圆的面积。 即：求圆的面积就要看当 n无限增大时，Sn 的变化趋势这就是数列的极限。 §1 极限问题的提出 如图所示 , 可知 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二 瞬时速度 以前（中学）一般讨论平均速度：需讨论一个运动的物体在某一时刻 t 的速度（设为瞬时速度） 的变化趋势， 思想：时间段 [t, t + h]上的平均速度 ， 让时间段越来越小， 就越来越接近于 v 让 h 无限变小，研究 这就是函数的极限。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义域为正整数的函数称为数列， 记为{xn} 即有 xn 是数列的第 n 项 ，也叫做数列的通项。 数列也可表示为 定义3.1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 写出来就是 写出来就是 1，4，9，16，…… ，写出来就是 0，2，0，2，…… 关心的是：当无限增大时， 的变化趋势。 写出来就是 写出来就是 例如 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1、极限的概念 = 容易看出，当 无限增大时，