数学分析第3章极限与函数的连续性01.ppt

第三章 极限与函数的连续性 一 割圆术： 刘徽（公元 3 世纪，魏晋时代，九章算术）利用圆内接正多边形来计算圆的面积，把正n边形的面积记为 Sn 当 n 越来越大时， Sn 越接近于圆的面积。 即：求圆的面积就要看当 n无限增大时，Sn 的变化趋势这就是数列的极限。 §1 极限问题的提出 如图所示 , 可知 二 瞬时速度 以前（中学）一般讨论平均速度：需讨论一个运动的物体在某一时刻 t 的速度（设为瞬时速度） §2 数列的极限 定义域为正整数的函数称为数列， 记为{xn} 即有 xn 是数列的第 n 项 ，也叫做数列的通项。 数列也可表示为 定义3.1 例如 1、极限的概念 = 例1 例2 无限增大时， 越变越小，无限的接近于1，因此 的极限是1。 当 例3 并不无限接近一个常数，因此说它没有极限。 当 无限增大时， 也无限增大， 一个常数，因此也没有极限。 它在0和2两个数中不停的跳动， 前三个数列的特点：当 无限增大时， 的值无限地接近某个数 . 例4，例5中的数列没有极限。 “当 无限增大时， 无限接近于 ”是什么意思? 例5 例4 也不是无限地接近 分别对 (只要n 10) , 0.001 (只要n 1000) …… 尽管 “很小”，但毕竟是确定的数。要描述 可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到， 才行。这也能够做到。从 可知只要 即可。也就是说 取 ，当 时， 即从第 项以后的所有项都满足 例： 都可以做到. 综上：“当 无限增大时， 无限接近于0”的实质是：对任意给定的 （无论它多么小），总存在一个正整数 （例取 ）， 时， . 将上面的语言抽象化，有下面定义： 正数 当 是一数列， 是一实数，若对于任意给定的正数 , 存在正整数 ，当 时，都有 , 则称 为数列 收敛，且收敛于 , 记为 或 的极限。或数列 定义3.2 没有极限的数列称为发散数列。 的极限为 ”的几何意义 “数列 （不一定去找满足要求的最小的 ） 几点说明： 1.使用邻域概念：开区间 称为 的 邻域，记为 对任意给定的 ，存在 ，当 时， 定义中 必须具有任意性：这样才能保证 与 但为表明渐近过程的不同阶段， 又具有相对固定性。即 是通过无限多个相对固定性表现出来的。 的无限接近， 的任意性 这就是任意与固定的辨证关系。 的某个函数也可有同样作用。 3. 2. 定义中，自然数 不是唯一的。若存在 满足要求， 任一自然数都能起到 的作用， 则比 大的 所以强调自然数的存在性 4. 下面看几个例子： 证明 例6 ，证明 证法1 ：若 ，结论显然成立。故不妨设 对任意给定的 ，不妨设 ，要使 ，即 只要 ，令 ，则当 时，有 . 这就证明了 设 证法2： 由 知存在 ，使得 ，从而 对任给的 ，要使 ，只要放大后的 . 因此取 ，则当 时，有 这就证明了 . 不妨设 例7 极限为0的数列称为无穷小量。 下面给出非常重要的定义： 的极限为 的充要条件是： 是无穷小量。 命题3.1 定义3.3 值得注意的是,无穷小量是一数列,而不是一个很小的常数. 由极限的定义显然有, 以a为极限等价于数列 以0为极限 . 我们把它写成下面的命题 从前面的例子可见， 的过程， 出发，看满足条件的 是否存在。我们只要找到一个就可以了，不管用的是什么方法。 适当放大到 于是我们很容易找到 当然放大要适当，要保证把 放大后仍然是无穷小量。 整个证明过程实际上是找 采用的是反推法， 即从 证明2用的是适当放大法，它将 证明 证明： 若 结论显然成立。 . 记 ，则 因此 对任意给定的 ，不妨设 ，取 ，则当 时，有 最后设 。这时存在 使 ，因此 由于 ，故对任意给定 ，存在 ，当 时，有 这样我们证明了当 时，总有 设 例8 证明 证明 ： 当 时， 对任意给定的 ，取 则当 即 时，有 例9 2、极限的四则运算与性质 寻找求极限的方法 则 定理实际上说的是：极限运算和四则运算可以交换次序。 设 定理3.1  给出收敛数列的两个性质： 称数列 有界，若存在正数 对一切的 成立，等价于：若存在 ，使得 ，又称 分别为 的下、上界。 ，使得 定义3.4 （有界性） 有极限存在的数列必有界。 定理3.2 若 无界，则 发散。 推论3.1 证明 设数列 有极限a . 由定义，对 则存在N,当 ，时有 因此 令 则 这就证明了 是有界的。 证明：由 知对 ，存在N, 当