课内第七章习题.doc

第七章习题 （一） 1. 求在z=I 处的伸缩率和旋转角。问此变换将经过点z=i且平行于实宙正方向的曲线的切线方向变换成w平面上哪一个方向？并用图。 2. 试利用保域定理7.1简捷地证明第二章习题（一）6(3)、（4）。 3. 在整线性变换下，下列图形分别变成什么图形？ （1）以为顶点的三角形； （2）闭圆. 4. 下列各题中，给出了三对对应点的具体数值，写出相应的分式线性变换，并指出此变换把通过z1，z2，z3的圆周的内部，或直线左边（顺着z1，z2，z3观察）变成什么区域。 （1）； （2）； （3）； （4）. 5. z平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数将此三个圆周所围成的区域变成w平面上什么区域？ 6. 如将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？ 7. 分别求将上半z平面共形映射成单位圆 的分式线性变换,使符合条件： （1）; （2）. 8. 分别求将单位圆 共形映射成单位圆的分式线性变换，使符合条件： （1）; （2）. 9. 求出将圆 变成半平面的共形映射，使得圆心变到-4，而圆周上的点2i变到 10. 求出将上半z 平面共形映射成圆的分式线性变换，使符合条件；如果再要求，此变换是否存在？ 11. 求将圆共形映射成圆的分式线性变换，使变成w=0。 12. 求出圆到半平面的共形映射，使符合条件 . 13. 试求以下各区域（除去阴影部分）到上半平面的一个共形映射。 （1）（图7.20）。 （2）（图7.21）。 （3）（图7.22）。 14. 求出角形区域到单位圆的一个共形映射。 15.求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z=1,-1,0分别变成。 16. 求出第一象限到上半平面的共形映射，使对应地变成 17. 将扩充z 平面割去1+I 到2+2i 的线段后剩下的区域共形映射成上半平面。 18. 将单位圆割去0到1的半径后剩下的区域共形映射成上半平面。 19. 将一个从中心起沿实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割疑寂岸的1变成1，割缝下岸的1变成-1，0变成-i。 （二） 1.证明定理7.3 （只须就的情形证明） 提示：不妨假设，否则，代替f(z)总可以考虑而；接着可以应用儒歇定理。 2. 如果单叶解析函数把z平面上可求面积的区域D共形映射成w平面上的区域G，试证G的面积 . 3. 求证：把圆周变成椭圆周 . 4. 把半带形 R 变成什么？ 5. 求分式线性变换w=L(z)，使点1变到，点I 是二重不动点。 6. 证明：有二相异有限不动点p，q的分式线性变换可写成 ，k是非零复常数. 7. 证明：只有一个不动点（二重有限）p的分式线性变换可写成 是非零复常数. 8. 证明：以p，q为对称点的圆周的方程为 当k=1时，退化为以p,q为对称点的直线。 9. 求分式线性变换 使扩弃z平面上的由三圆弧所围成的三角形与扩充w平面上的直线三角形相对应的充要条件. 10. 设函数在|z|1内解析，且是将| z| 1共形映射成| w |1的分式线性变换。试证 （1）； （2）， 其中a在单位圆| z|1内，f(a)=0。 11. 若是将| z |1共形映射成| w | 1的单叶解析函数，且 . 试证：这个变换只能是恒等变换，即. 12. 设函数在| z |1内单叶解析，且将| z| 1共形映射成| w |1，试证必是分式线性函数. 13. 设在| z |1内f(z)解析，且| f(z) |1；但试证：在内。 . 提示：应用例7.8及施瓦茨引理. 14. 应用施瓦茨引理证明：把| z |1变成，且把变成0的共形映射一定有下列形状 ， 这里是实常数.