第七章习题解答.doc

习 题 七 1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是： (1) 在向量空间V中，? (?)＝?＋?，?是V中一固定的向量； (2) 在向量空间R3中，? (x1, x2, x3)＝； (3) 在向量空间R3中，? (x1, x2, x3)＝； (4) 把复数域看作复数域上的向量空间，? (?)＝. 解 （1）当时，是线性变换； 当时，不是线性变换； （2）不是线性变换； （3）是线性变换； （4）不是线性变换； 2. 设V是数域F上一维向量空间. 证明，?是V的一个线性变换的充要条件是：存在F中的一个数a，使得对任意??V，都有 ? (?)＝a? . 证明：充分性显然. 必要性:令是的一个线性变换,设是的一个基.则.那么可由线性表示,不妨设.对任意的,有,则. 3. 设?是向量空间V的线性变换，如果? k－1??0, 但? k?＝0，求证?, ??, …, ? k－1? (k0)线性无关. 证明: 令 ┄ + ┈┈┈┈(1) (1)式两端用作用得: + 由已知得:= ,所以有 .则(1)式变为: + ┈┈┈┈(2) (2)式两端用 作用得: + 同理.重复上述过程有:. 4. 在向量空间R[x]中，? (f (x))＝f ?(x), ? (f (x))＝xf (x), 证明，?? －??＝?. 证明:对任意,有 .所以?? －??＝?. 5. 在向量空间R3中，线性变换?, ?如下： ? (x1, x2, x3)＝(x1, x2, x1＋x2) ? (x1, x2, x3)＝(x1＋x2－x3, 0, x3－x1－x2) (1) 求??, ??, ?2； (2) 求?＋?, ? －?, 2?. 解: (1) 0,,. , =.. (2) =+ + . = =. =. 6. 已知向量空间R3的线性变换?为 ? (x1, x2, x3)＝(x1＋x2＋x3, x2＋x3,－x3) 证明，?是可逆变换，并求?－1. 证明:, ,. EMBED Equation.3 关于的一个基, ,的矩阵为: . 显然,可逆,所以是可逆变换,而且 所以. 7. 设?, ?, ?都是向量空间V的线性变换，试证, （1）如果?, ?都与?可交换，则??, ?2也都与?可交换（若对任意??V，都有?? (?)＝?? (?)，就说?与?可交换）； （2）如果?＋?, ?－?都与?可交换，则?, ?也都与?可交换. 证:(1)由已知.那么 =.. (2)同理可证. 8. 证明，数域F上的有限维向量空间V的线性变换?是可逆变换的充分必要条件是?把非零向量变为非零向量. 证明:不妨设是n维的.,是它的一个基.关于这个基的矩阵为.显然,可逆当且仅当可逆. 把非零向量变为非零向量当且仅当,而秩=秩,的零度=.且秩+的零度=n.所以秩=n当且仅当的零度是0,即可逆当且仅当.故可逆当且仅当把非零向量变为非零向量. 9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令是向量空间的可逆线性变换,,是的一组线性无关的向量,令 +. 两端用 作用得: +.由已知, 线性无关,所以:=.故, 线性无关. 10. 设{?1, ?2, ?3}是F上向量空间V的一个基. 已知V的线性变换?在{?1, ?2, ?3}下的矩阵为 A＝ (1) 求?在{?1, ?3, ?2}下的矩阵； (2) 求?在{?1, k?2, ?3}下的矩阵(k?0，k?F)； (3) 求?在{?1, ?1＋?2, ?3}下的矩阵. 解:(1). (2). (3) 11. 在R3中定义线性变换?如下 ? (x1, x2, x3)＝(2x2＋x3, x1－4x2, 3x1)，?(x1, x2, x3)?R3. (1) 求?在基?1＝(1, 0, 0), ?2＝(0, 1, 0), ?3＝(0, 0, 1)下的矩阵； (2) 利用(1)中结论，求?在基?1＝(1, 1, 1)，?2＝(1, 1, 0)，?3＝(1, 0, 0)下的矩阵. 解:(1) (2)从基到基的过渡矩阵为.在下的矩阵为: =. 12. 已知M2(F)的两个线性变换?，?如下 ? (X)＝X, ?