第七章习题选解.doc

PAGE PAGE 1 习题7-1 已知函数，试求． 解 ． 已知函数． 解 ． 已知． 解 令，则 ， 故 ． 求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（Rr0）; 解 （1）； （2）； （3），且，故函数的定义域为，． （4）． （5）且，故函数的定义域为． 5. 求下列各极限： （1）； （2）； （3）； （4）； 解 （1）； （2）； （3） （4） 6. 从，能否断定不存在？ 答 因为函数沿不同路径的极限不相等，所以极限不存在． 7. 函数在何处是间断的？ 解 为了使函数的表达式有意义，需要，所以曲线上的点均是函数的间断点． 8. 证明：极限不存在。 证 当点沿轴时，；当点沿轴时，，所以极限不存在． 习题7－2 1．求下列函数的偏导数： （1）； 　 （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解 　(1) ； (2) ； (3) ； （4），根据对称性可知：； (5) 因为 ，所以 ，； （6）；又因为，所以 ． 2．设，求． 解 因为 ，， 所以 3. 设，求及。 解 因为，所以，． 4．设，求 解 ，同理 ． 5．设，证明：。 证　因为，所以． 6．求下列函数的二阶偏导数： （1）； （2）； （3）。 解 (1) ， 　　， ，　　　， ． （2）　， ， ， ， ． （3）　，　 ， ． 7．设，求、、及。 解　． 8．设，求及。 解 ， ，， ，，． 9．验证：满足方程． 证 因为 ， 又 ， ， 所以 ． 习题7－3 1．求下列函数的全微分： （1） （2）； （3）； （4）． 解 （1）； （2）； （3） 因为 ， ， 所以 ． （4） 因为 ，，， 所以 ． 2．求函数当x=1, y=2时的全微分． 解 因为 ，， ，， 所以，全微分． 3． 计算的近似值． 解 设，则有 ，． 若取，则，，． 利用近似公式　　　， 求得 ． 4． 有一圆柱体，受压后发生变形，它的半径由20cm增大到20.05cm，高由100cm减少到99cm 。求此圆柱体体积变化的近似值。 解 圆柱体的体积为，则，当，，， 时， ， 即圆柱体体积减少了． 5． 已知一直角三角形的斜边为2.1cm ，一个锐角为31o ,求这个锐角所对的直角边的近似值。 解 设，则有 ，． 若取，，则，， ．利用近似公式 　， 求得直角边长为． 习题7－4 求下列复合函数的偏导数 (1) 设，而，求，． (2) 设，而，求，． 设，而，求． 设，而，求． ，求，． ，求，，． 解 (1) ， ． （2）解法一：由复合函数的求导法则有 ， ． 解法二：将代入中，得，于是 ， （3）． （4）解法一：由复合函数的求导法则有 ． 解法二：将代入中，得， 于是 ． (5) ． (6) 将三个中间变量按顺序编为1，2，3，由复合函数的求导法则有 , , ． 2. 设，而，验证． 证明 3．设，证明： ． 解　由复合函数求导法则 ， 故　　 　　　　　　　　　　　　． 4．设，而，为可导函数，求． 解 因为 ，　， 所以　 　． 5．设，其中f具有二阶导数，求。 解 =， =， ， ， ． 6. ，其中f具有二阶导数，求． 解 将两个中间变量按顺序编为1，2，由复合函数的求导法则有 ， 7. 设，求． 解　设．由隐函数求导数公式，求得 ． 8. 设，求。 解 设， 则 ， ， 由隐函数求导公式，得 ． 9. 设，求及． 解　　设，则． 10. 设，求及． 解 设，则 ，， ， 所以 ，． 11. 设，求． 解 设 ，则 ，， 所以 ， ． 12. 设，求． 解 设 ，则 ，，， 所以 ， ． 13. 设确定为的隐函数，求及． 解　令，则由隐函数求导公式，得 ． 14. 设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足． 证明 设，则 ，， ， 所以 ， 则有 ． 15. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： (1) 设求，，，； (2) 设求，。 解　（1）方程组两边对求导，得，解得； 类似的，方程组两边对求导，解得． （2）方程组两边对求导，得，解得． 1