概率論第三章习题课.doc

§3.4? 随机变量函数的分布 一、一维随机变量函数的分布 定理1.设?为连续型随机变量，为其密度函数。又设严格单调，其反函数具有连续导数。则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 　 (1) 其中， 证明：不妨设是严格单调上升函数，这时它的反函数也是严格单调上升函数，于是 （） 对上式关于y求导,得 同理，可证当是严格单调下降函数时，有 所以 定理1在使用时的确很方便，但它要求的条件“函数严格单调且反函数连续可微”很强，在很多场合下往往不能满足。事实上这个条件可以减弱为“逐段单调，反函数连续可微”。这时密度公式应作相应的修改。 定理2.若f(x)在不相重叠的区间上逐段严格单调，其反函数分别为，而均为连续函数。那么为连续型随机变量，其密度函数为 (2) 设，则 证：为单调函数，则反函数 所以由定理1，得?的分布密度为 例2.若，则。 证：为单调函数，且反函数 所以由定理1，得?的分布密度为 所以 例3.?????设,试求的密度函数。 解法1：?（先求其分布函数，然后再求其密度函数—分布函数法） 当y?0,显然有 当y0,有 所以， 解法2：（利用定理2） 分段单调，在（-?，0）中反函数，而在[0,+?）中反函数,因此根据定理2，知道?的密度函数为（当y0时） 所以 上述密度函数为分布的密度函数 在n=1时的特例，也就是说N(0，1)变量的平方是自由度为1的变量。 例4设随机变量的分布函数为严格单增的连续函数，证明 证明： 取值于[0，1]，取值于[0，1] 当 时， 当 时， 当 时， 所以， 二、二维随机变量函数的分布 问题：已知的联合密度函数为，是二元可测函数，求随机变量的分布 则同上面一样讨论可得到 方法： 1.和的分布 上式关于z求导得 (3) 如果?与?相互独立时，有，从而 (4) 由于对称性，还可得 (5) (4)和(5)是著名的卷积公式（褶积公式），简单地记作 ??????????????? 例5、设?与?相互独立且都服从N（0，1）. 证明: 证：由卷积公式 故 注：1°若于，则。 2°若独立同分布于，则 3°若相互独立，则 这个事实有时也称为正态分布具有可加性。 在前面已经证明了普阿松分布、二项分布具有可加性，这里也说明了正态分布具有可加性，其实还有其他一些分布也具有可加性，如分布。 例6（教材135页） 。 解：当时，显然 当时， 所以， 由此可知，分布对它的第一个参数具有可加性。由于为参数为n的分布，因此分布也具有可加性。 特别的当时， 随机变量?的密度函数为： ? 称服从自由度为n的—分布，记作。 这是数理统计中的一个重要分布。 特别地，当时，?(1,?)就为参数为?的指数分布。 由此又可以得到另两个结论： (1)m个独立同分布的指数变量之和为?-分布变量，即 (2) m个独立同分布的变量之和为变量(分布具有可加性) 例7 如果是n个相互独立的随机变量，且都服从N（0，1），并且都服从分布，且仍然相互独立，其平方和服从自由度为n的-分布。 即n个相互独立的N（0，1）的平方和是一个参数为n的-分布，习惯上独立变量的个数称为“自由度”。 例8 设独立同分布于，求的密度函数 解：Ⅰ 由题意 由卷积公式： 1）当时， 2）当时 3）当时， 3）当时， 所以， Ⅱ 1）当时， 2）当时 3）当时， 3）当时， 所以， 2．差的分布 设密度函数为，求的分布。 (6) 令 则， 上式关于y求导，得?的密度函数为 (7) 3．积的分布 设密度函数为，求的分布。 （8） 4. 商的分布 设密度函数为，求的分布。 令 则， 所以 上式关于z求导，得?的密度函数为 （8） 特别，当?与?相互独立时，有 （9） 例9 设?与?相互独立，分别服从自由度为n及m的-分布,证明 上式的密度函数的分布称为参数为的--分布，记作 它