第三章 习题课180.ppt

* 习 题 课 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容 1、罗尔中值定理 2、拉格朗日中值定理 3、柯西中值定理 4、洛必达法则 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 . 注意：洛必达法则的使用条件. 5、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式 Fermat 定理 中值定理揭示了导数与函数之间的关系，是导数应用的理论基础，是利用导数研究函数性质的有效工具。是沟通导数的局部性质与函数在区间上的整体性质的重要桥梁。 6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法 (2) 函数的极值及其求法 极值必要条件、第一、第二充分条件 求极值的步骤: (3) 最大值、最小值问题 (4) 曲线的凹凸与拐点 (5) 函数图形的描绘 (6) 弧微分 曲率 曲率圆 例1 解 二、典型例题 这就验证了命题的正确性. 例2 Darboux定理: 证 首先假定 不妨设 如右图所示 o y x a b 由假设知 由 右方邻近，有 由 左侧邻近，有 由 Fermat 定理,得 其次，取介于 之间的任意数 C 为明确起见，不妨设 引进辅助函数 由上述已证知 例3 证明方程 在(0,1)内至少有一实根 [分析] 如令 则 的符号不易判别 不便使用介值定理 用 Rolle 定理来证 证 令 则 且 故由Rolle 定理知 即 在(0,1)内有一实根 例4 证 满足Rolle 定理的条件 例5 解 例6 解 例7 例8 证 由介值定理, （1） （2） 注意到 由（1）, （2）有 （3） （4） （3）+ （4）,得 例9 问方程 有几个实根 解 同时也是最大值 分三种情况讨论 ① 由于 方程有两个实根，分别位于 ② 方程仅有一个实根，即 ③ 方程无实根 ① ② ③ 例10 证 （1） （2） （1）– （2）, 则有 例11 解 若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数, 于是有 解此方程组得 故所求作抛物线的方程为 曲率圆的方程为 两曲线在点处的曲率圆的圆心为 例12 解 奇函数 列表如下: *