概率论第三章习题解答.doc

第三章习题解 1　在一箱子中装有12只开关，其中2　只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。定义随机变量，如下： 　　　　 　　　　 试分别就（1），（2）两种情况写出，的联合分布律。 解　（1）放回抽样 　　　 由于每次抽取时都是12只开关，第一次取到正品有10种可能，即第一次取到正品的概率为　　　， 第一次取出的是次品的概率为　　 同理，第二次取到正品的概率 　　　第二次取到次品的概率为 由乘法公式得，的联合分布率为 ，，。 具体地有 ，， 　　， 用表格的形式表示为 　　 0　　　　　1 　 　0 　1 　　　　 　　　　 （2）不放回抽样 　　， 因为第二次抽取时，箱子里只有11只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有9只正品）。所以 　　，　　 　　，　　 则　， 　　， 用表格表示为 　　　 0　　　　　1 　 　0 　1 　　　　 　　　　 2　（1）盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数，求X和Y的联合分布律。 　（2）在（1）中求，，，。 解　X可能的取值为0，1，2，3；Y的可能取值为0，1，2。 　　（因为盒子里总共只有7只球，每次取4只球，而红球2只，故不可能白球和黑球同时都取不到） 　，　　 　　　　。 。　　 ，　 ， ，　　 ， 其联合分布律为 　　 0　　　　1　　　　2　　　　3 　　0 　 1 　 2 0　　　　　0　　　　　　 0　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　0 （2） 　　　　　　　 　　　　　　　 　　； 　　 　　　　　　　　。 　　　　　　。 3　设随机变量的概率密度为 　　　　　 （1）确定常数； （2）求； （3）求； （4）。 解　由得 令，　　得。 （2） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　 （积分区域为，） 　　　　　　 　　　　　　。 4 设，是非负的连续型随机变量，它们相互独立。 （1）证明　，其中是的分布函数，是的概率密度。 （2）设，相互独立，其概率密度分别为 　　　　　，　　 求。 解　（1）因为，是非负的连续型随机变量，且相互独立，所以，在区域内 　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（分部积分） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 （2）　　　 　　　　　　　　　 5　设随机变量具有分布函数 　　　　， 求边缘分布函数。 解　当时 其它情形　，即 。 同理　当时 其它情形　，即 　　。 6　将一枚硬币掷三次，以X表示前两次中出现H的次数，以Y表示3次中出现H的次数，求X，Y的联合分布律以及的概率密度。 解　将一枚硬币掷三次，其H和T出现的情况为 ｛HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT｝ X的取值为0,1，2，Y的取值为0，1,2，3则 （TTT），　　　　（TTH） ，　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　（HTT，THT） 　（HHT，THH）　 　　　　　　　　　　 　　（HHT）　　　　　　　（HHH）　 0　　　　1　　　　2 　　0 　　 　　1　　 2 3 　　　　0　　　0 　　　　　　0 0　　　　　　 0　　　　0　　　 　　　　　　　　　　　　 7　设二维随机变量的概率密度为 　　　 　求边缘概率密度。 解　当　时 　　 当　时 　　 8　设二维随机变量的概率密度为 　　　　　　 求边缘概率密度 解　当时， 　　　　　　于是　　 　　当时 　　　　　于是　 9设二维随机变量的概率密度为 　　　 （1）确定常数； （2）求边缘概率密度 解　（1）　因为　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 令　，得。即 （2）　　当时 于是　　 当时 　　　　 于是　　 　　10　某一医药公司8月份和9月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y。据以往积累的资料知X，Y的联合分布律为 　　　 51　　52　　53　　54　　55 51 52 53 54 55 0.66　0.05　0.05　0.01　0.01 0.07　0.05　0.01　0.01　0.01 0.05　0.10　0.10　0.05　0.05 0.05　0.02　0.01　0.01　0.03 0.05　0.06　0.05　0.01　0.03 （1）求边缘分布律； （2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件概率。 解（1）边缘概率　 　　　 　　　 51　　52　　53　　54　　55 51 52 53 54 55 0.06　0.05　0.05　0.01　0.01 0.07　0.05