概率论第三章3-3.ppt
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例9 * * * * (续)备用的情形 解 由题意可知, * 解 被积函数非零域 * * 作业 18、22、24、25. * §3.5 随机向量的函数的分布设(X, Y)是二维随机向量,z =? (x, y)是一个已知的二元函数,如果当(X, Y)取值为(x, y)时, 随机变量 Z 的取值为z =? (x, y),则 Z 称是二维随机向量(X, Y)的函数,记作Z =? (X, Y). 问题: 已知(X, Y)的分布, 求Z =? (X, Y)的分布. * 一、离散型随机向量函数的分布 例1 * 概率 * * 解 例2 Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,…, * X, Y 相互独立 * 证明 由前面的例题可知 例3 * * 例4 设X和Y相互独立,X~b(n1,p),Y~b(n2, p),求Z=X+Y 的分布.我们可以按照前面的方法来求解,也可以换一种方法.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释: 若X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p,则 X~ b(n1, p). 若Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p, 则 Y~ b(n2,p). * Z=X+Y是在n1+ n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p, 则Z=X+Y ~ b(n1 + n2, p). 于是Z是以(n1+n2,p)为参数的服从二项分布的随机变量,即Z ~ b(n1+n2, p). 从问题的背景出发得到的结果更直接,更容易理解. * 更一般地,设全班有n个同学,在相同条件下独立重复进行同一个试验,每次试验成功的概率是p. 若第 i个同学做了mi次试验,其中试验成功的次数是Xi. 全班同学一共进行了 m= m1+ m2+…+ mn 次试验. 设Z表示全班同学试验成功的总次数, Z= X1+ X2+…..+ Xn, 则Z~b(m, p). * * 已知(X,Y)~ f(x,y),求Z = ? (X,Y)的概率分布. 若Z为连续型随机变量,则在 f Z(z) 的连续点处 二、连续型随机向量函数的概率分布 * 解 例5 X,Y相互独立, * 设Z的分布函数和概率密度分别为 * * 解1 由概率密度的定义, 故Z=X+Y的概率密度为 设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度f (x,y),求Z=X+Y的概率密度. * 已知(X,Y) ~ f(x, y),求Z=X+Y的概率密度. 解2 由概率密度的定义, 故Z=X+Y的概率密度为 * 设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度f (x,y),则Z= X+Y为连续型随机变量,其概率密度为 又若 X 和 Y 独立,(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则 这两个公式称为fX 和 fY 的卷积公式,记为 *已知X, Y 相互独立且均服从N(0,1)分布,求Z=X+Y的概率密度. 解 例6 * * 证明概率积分 * 若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0, 2).有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. * 例7 解 设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的概率密度均为 求Z = X+Y的概率密度. * 被积函数的非零域 x z O 10 (10,10) (10,20) 20 * x z O 10 (10,10) (10,20) 20 * * M=max{X,Y}, N=min{X,Y}的分布 例8 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一概率分布, 解 * M=max{X,Y}, N=min{X,Y}的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y).求 M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布函数. FM(z) = P(M≤z) = P(max(X,Y)≤z) = P(X≤z,Y≤z) = P(X≤z) P (Y≤z) = FX(z) FY(z). * 类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数. FN(z) =P(N≤z) =P(min(X,Y) ≤z) =1 – P(min(X,Y) z) =1-P(Xz,Yz) =1- P(Xz)P(Yz) = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]. 以上结果可以推广到n个相互独立的随机变量的情形. * *
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