高等数学 ch12第六节.ppt

无穷级数 第六节  函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、函数的幂级数展开式的应用 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、函数的幂级数展开式的应用 2、计算定积分 3、求数项级数的和 3、欧拉公式 三、小结 小结 １、近似计算,求不可积类函数的定积分， 例5 解 复数项级数: 复数项级数绝对收敛的概念 三个基本展开式 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系. 欧拉公式 1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法. ２、微分方程的幂级数的解法．(第十二节介绍) 求数项级数的和，欧拉公式的证明； * 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 可见 在x=0点任意可导, 证明 必要性 充分性 证明 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例4 解 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数. 1、近似计算 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 解 余和: 例2 解 其误差不超过 . 解法 逐项积分 展开成幂级数 定积分的近似值 被积函数 第四项 取前三项作为积分的近似值,得 例3 解 收敛的交错级数 1.利用级数和的定义求和: (1)直接法; (2)拆项法; (3)递推法. 例4 解 2.阿贝尔法(构造幂级数法): (逐项积分、逐项求导) 例4 解 若, , 则称级数收敛, 且其和为 . 若收敛, 则,绝对收敛,称复数项级数绝对收敛. 定理1 如果函数在内具有任意阶导 数, 且在内能展开成的幂级数, 即 则其系数 且展开式是唯一的. 如果在点处任意阶可导,则幂级数称为在点的泰勒级数. 称为在点的麦克劳林级数. 定理2 在点的泰勒级数,在内收 敛于在内. 定理3 设在上有定义,,对,恒有 ,则在内可展 开成点的泰勒级数. 将下列函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间: 1、； 2、; 3、； 4、. 将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间 . 将函数展开成的幂级数 . 将级数的和函数展开成的幂级数 . 一、1、； 2、； 3、； 4、. 二、 . 三、. 四、 . 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: 1、 (精确到)； 2、 (精确到). 利用被积函数的幂级数展开式求定积分 (精确到)的近似值 . 将函数展开成 . 一、1、1.0986； 2、0.9994. 二、0.487. 三、. (提示:)