多维随机变量问题库.doc

#00001 已知F(x,y)=A(B+arctg, 1)求常数A，B，C。 2)求P{0X2,0Y3} *00001 解： #00002 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令 求(X,Y)的分布律。 *00002 解：显然X、Y的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0 而P{X=1，Y=1}=P{两次均摸到红球}=，同理计算其它的Pij，故有(X,Y)的分布律为： 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 #00003 设(X,Y)具有概率密度，1)求常数c；2)求P{Y2X} ； 3)求F(0.5,0.5) *00003 解：1) 如图所示区域D为(X,Y)的非0定义域 由归一性 图 ? 3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在{X￡0.5,Y￡0.5}区域（见如图G1）上的概率。故有 #00004 已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。 *00004 解：FX(x)=F(x,￥)= FY(y)=F(￥,y)= #00005 (X,Y)的分布函数如 2.1.求X及Y的边缘概率密度。 *00005 解法1：可先求出(X,Y)的概率密度，再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出X与Y的边缘概率密度 解法2： 2.1.已算出了FX(x)及FY(y)，则 fX(x)=FX(x,)= fY(y)=FY(y)= #00006 已知(X,Y)的分布律为 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 1/10 3/10 ? 求X、Y的边缘分布律 *00006 解：由式(3.2.5)可得： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 ? #00007 已知(X,Y)的分布函数为 问X与Y独立吗？ *00007 解：FX(x)=F(x,￥)= FY(y)=F(￥,y)= 故Ｘ与Ｙ不独立。 #00008 已知随机变量(X,Y)的分布律为 x 1 2 0 0.15 0.15 1 a b 且知X与Y独立，求a、b的值。 *00008 解：首先，a+b=1-0.15-0.15=0.7 又X与Y独立，由定理3.2.3.a=(a+b)(0.15+a)Ta=0.35 b=0.7-0.35=0.35 #00009 甲乙约定8:00~9:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟，过时不候。求两人能见面的概率。 *00009 解：设甲于8点零Ｘ分钟到达、乙于8点另Ｙ分钟到达。由题意，Ｘ与Ｙ独立且Ｘ~U(0,60)（分）,Y~U(0,60)（分）,两人能见面等价于｜Ｘ－Ｙ｜15。为求p{|X-Y|15}需求出(X,Y)的概率密度。由定理3.2.2. 图 \ #00010 (X,Y,Z)的概率密度为 试判断 （X,Y,Z）的独立性。 *00010 解：TA=6 求各一维边缘密度函数 fX(x)= 类似可得 fX(x)fY(y)fZ(z)==f(x,y,z) 故X，Y，Z相互独立。 #00011 设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X与下一代只数Y的联合分布律。 *00011 解：本题已知随机变量X的分布律Pi·:P{x=i}= 由题意易见，该昆虫下一代只数Y在X=i的条件下服从参数为i,0.8的二项分布，即Y|X=i~B(I,0.8),故有 又由式(3.3.2),P{X=i,Y=j}=P(Y=yj|X=xi}P{X=xi},于是，(X,Y)的分布律为： #00012 已知(X,Y)的概率密度为 ? ? (1)求条件概率密度fy|x(y|x) (2)求条件概率P{Y1/3|X=-1/3} *00012 解:(1) 由式(3.3.5)当-1x1，x11时 #00013 已知随机变量X与Y独立，其分布律分别为 X 1 0 ? Y -1 0 1 pX 0.4 0.6 PY 0.2 0.3 0.5 分别求随机变量Z=max(X,Y)，与W=X-Y的分布律。并求(Z,W)的分布律。 *00013 解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概率；第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z、W的取值。 （X，Y） (1,-1) (0,-1) (1,0) (0,0) (1,1) (0,1) Pi,j 0.08 0.12, 0.12 0.18 0.2 0.3 Z=max(X,Y)