讲多维随机变量及其分布.doc

第八讲 多维随机变量及其分布 二维随机变量的分布 一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维随机向量或二维随机变量. 定义：设(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 二元函数: 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随机变量X和Y的联合分布函数. 易知, 随机点(X,Y)落在矩形域[x1Xx2, y1Yy2]的概率为 P{x1Xx2,y1Yy2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2). (1.1) 分布函数F(x,y)具有的基本性质:（1）F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对于任意固定的y,当x2x1时F(x2,y)F(x1,y); 对于任意固定的x,当y2y1时F(x,y2)F(x,y1). （2）0F(x,y)1, 且对于任意固定的y, F(-,y)=0, 对于任意固定的x, F(x,-)=0, F(-,-)=0, F(+, +)=1. （3）F(x,y)关于x和关于y都右连续.即 F(x,y)=F(x+0,y), F(x,y)=F(x,y+0) （4）任给(x1,y1),(x2,y2), x1x2, y1y2, F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0 离散型二维随机变量的分布 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对, 则称(X,Y)是离散型的随机变量. 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj), i,j=1,2,...,记P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,..., 则由概率的定义有 称P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联合分布律. 也可用表格表示X和Y的联合分布律: 例１ 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值, 另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值. 试求(X,Y)的分布律. 解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律。 易知{X=i,Y=j}的取值情况是: i=1,2,3,4, j取不大于i的正整数, 且 于是(X,Y)的分布律为 将(X,Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为 其中和式是对一切满足，的i,j来求和的. 连续型二维随机变量的概率密度 与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y)，使对于任意x,y有 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随机变量X和Y的联合概率密度. 按定义, 概率密度f(x,y)具有以下性质:（1）f(x,y)0. （2）. （3）设G是xOy平面上的区域,点(X,Y)落在G内的概率为 （4）若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有 在几何上x=f(x,y)表示空间的一个曲面, 由性质2知, 介于它和xOy平面的空间区域的体积为1, 由性质3, P{(X,Y)G}的值等于以G为底, 以曲面z=f(x,y)为顶面的柱体体积. 由性质4并结合微积分的概念知，(X,Y)落在小长方形(x,x+x](y,y+y]内的概率近似等于f(x,y)xy. 例２ 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1)求分布函数F(x,y); (2)求概率P{YX}. 解 (1) (2) 将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标, 即有{YX}={(X,Y)G},其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分,于是 以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n(n2)维随机变量的情况. 一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e}, 设X1=X1(e), X2=X2(e), ..., Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个n维随机向量(X1,X2,...,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量.任给n个实数x1,x2,...,xn, n元函数F(x1,x2,...,xn)=P{X1x1,X2x2,...,Xnxn}称为n维随机变量(X1,X2,...,Xn}的分布函数或联合分布函数. 它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质. 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描. 例如, 为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况, 对这一地区的儿童进行抽查, 对于每